Zadanie nr 8055883
Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych zilustruj zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych , takich, że równanie
ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału
.
Rozwiązanie
Zacznijmy od sprawdzenia, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

Sposób I
Kiedy oba pierwiastki będą większe od 1? Na pewno wierzchołek musi być na prawo od 1 (szkicujemy sobie to!), czyli

To jednak za mało, bo nadal mniejszy pierwiastek może być na lewo od 1. Aby tak nie były, wystarczy aby wartość w była nieujemna. Daje to nam

Aby teraz naszkicować zbiór otrzymanych pary punktów, rysujemy wykresy funkcji oraz
i zaznaczamy obszar pomiędzy nimi pamiętając, że ma być
.

Sposób II
Inny sposób ustalenia kiedy oba pierwiastki są większe od 1, to sprawdzenie kiedy mniejszy z nich jest większy od 1. Liczymy

Widać teraz, że jeżeli lewa strona nie jest dodatnia, to nierówność jest sprzeczna. Mamy stąd . Przy tym założeniu obie strony są dodatnie i możemy nierówność podnieść stronami do kwadratu.

Obrazek wykonujemy jak w poprzednim sposobie.