Zadanie nr 8726026

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

x2 − (3m + 1)⋅x + 2m 2 + m + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x2 spełniające warunek

x3 + x3 + 3 ⋅x1 ⋅ x2 ⋅(x 1 + x 2 − 3) ≤ 3m − 7. 1 2

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 2 0 < Δ = (3m + 1 ) − 4 ⋅(2m + m + 1) = = 9m 2 + 6m + 1 − 8m 2 − 4m − 4 = m 2 + 2m − 3 Δm = 4+ 12 = 16 − 2− 4 − 2 + 4 m = ------- = − 3 lub m = ------- = 1 2 2 m ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (1,+ ∞ ).

Przy tym założeniu możemy korzystać ze wzorów Viète’a

{ x 1 + x 2 = 3m + 1 2 x 1x2 = 2m + m + 1.

Zauważmy jeszcze, że

3 3 x 1 + x 2 + 3x 1x2(x1 + x2 − 3) = = x3+ 3x2x + 3x x 2+ x 3= (x + x )3. 1 1 2 1 2 2 1 2

Dana nierówność przyjmuje więc postać

3 3 x1 + x2 + 3x1x2(x 1 + x 2 − 3) ≤ 3m − 7 (x + x2)3 − 9x x2 ≤ 3m − 7 1 1 (3m + 1)3 − 9 (2m 2 + m + 1) ≤ 3m − 7 3 2 2 27m + 27m + 9m + 1 − 18m − 9m − 9 − 3m + 7 ≤ 0 27m 3 + 9m 2 − 3m − 1 ≤ 0 .

Rozłóżmy teraz wielomian z lewej strony nierówności – widać, że łatwo można wyciągnąć w nim 3m + 1 przed nawias.

27m 3 + 9m 2 − 3m − 1 = 9m 2(3m + 1 )− (3m + 1) = 2 2 = (9m − 1 )(3m + 1) = (3m − 1 )(3m + 1) = ( 1) ( 1) 2 = 27 m − -- m + -- . 3 3

Interesująca nas nierówność ma więc postać

( 1 ) ( 1 )2 m − -- m + -- ≤ 0 ( 3 ] 3 1- m ∈ − ∞ ,3 .

W połączeniu z warunkiem na –ę, mamy stąd

m ∈ (− ∞ ,− 3).

Odpowiedź: m ∈ (− ∞ ,− 3)