Zadanie nr 8957460

Dla jakich wartości parametru równanie 2 2 x − (2m − 1)x + m − 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste mniejsze od 4?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Po pierwsze, jeżeli równanie ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi być Δ > 0 , czyli

0 < Δ = (2m − 1)2 − 4(m 2 − 4) = − 4m + 17 ⇒ m < 1-7. 4

Sposób I

Jak zapisać warunek, że pierwiastki są mniejsze od 4? – najlepiej jest myśleć o paraboli, jej punkty przecięcia z osią muszą być na lewo od 4.

Jak to zapisać? Na pewno wierzchołek musi być na lewo od 4, czyli

4 > x = 2m-−--1 ⇒ m < 9-. w 2 2

To jednak nie wystarczy, bo większy pierwiastek może być nadal za czwórką. Aby to wykluczyć, musimy jeszcze zażądać aby wartość w 4 była dodatnia, czyli

0 < f(4) = 16 − 4(2m − 1) + m 2 − 4 = m 2 − 8m + 1 6 2 0 < (m − 4) m ⁄= 4.

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: ( ) m ∈ (− ∞ ,4)∪ 4, 174 .

Sposób II

Wystarczy sprawdzić, kiedy większy z pierwiastków jest na lewo od 4. Liczymy

√ -- −b-+----Δ-< 4 2a ---------- (2m − 1 )+ √ − 4m + 17 ------------------------< 4 / ⋅2 √ 2--------- 2m − 1 + − 4m + 17 < 8 √ ---------- −4m + 17 < 9− 2m .

Chcielibyśmy teraz podnieść tę nierówność do kwadratu, ale aby móc to zrobić musimy założyć, że prawa strona jest nieujemna, czyli że 9 m ≤ 2 (jeżeli tak nie jest to nierówność jest sprzeczna).

√ ---------- 2 − 4m + 17 < 9 − 2m / () − 4m + 17 < 81 − 36m + 4m 2 0 < 4m 2 − 32m + 64 / : 4 2 0 < m − 8m + 16 0 < (m − 4)2.

Musi być zatem m ⁄= 4 i mamy stąd ( ) m ∈ (− ∞ ,4) ∪ 4, 17- 4 .

Sposób III

Jeżeli pierwiastki x1,x2 danego równania mają być mniejsze od 4, to liczby x1 − 4 i x 2 − 4 muszą być obie ujemne. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni, a suma ujemna.

{ 0 < (x1 − 4)(x2 − 4) = x 1x2 − 4(x1 + x2)+ 16 0 > (x − 4) + (x − 4) = (x + x ) − 8. 1 2 1 2

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

{ x1 + x2 = 2m − 1 x1x 2 = m 2 − 4.

Musimy więc rozwiązać układ nierówności

{ 0 < m 2 − 4 − 8m + 4 + 16 = m2 − 8m + 16 = (m − 4)2 0 > 2m − 1− 8 ⇐ ⇒ 92 > m

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: ( ) m ∈ (− ∞ ,4)∪ 4, 17 4 .

Sposób IV

Jeżeli ktoś nie boi się pochodnych, to warunek z treści zadania można zapisać jako f (4) > 0 i f′(4) > 0 – funkcja ma być rosnąca w otoczeniu 4 (czyli jesteśmy na prawej połówce paraboli). Warunek f(4) > 0 tak jak I sposobie prowadzi do nierówności