Zadanie nr 9686295

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których trójmian kwadratowy

4x 2 − 2mx + m − 1

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x 1 oraz , spełniające warunki:

x ⁄= 0, x ⁄= 0 oraz x + x ≤ -2-+ 2-. 1 2 1 2 x 1 x2

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdzamy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

2 0 < Δ = 4m − 16(m − 1) / : 4 0 < m 2 − 4m + 4 = (m − 2)2 m ⁄= 2 .

Wiemy ponadto, że rozwiązania mają być niezerowe, więc m ⁄= 1 . Przy tych założeniach możemy skorzystać ze wzorów Viète’a

{ x1 + x2 = 2m4-= m2- x x = m-−1. 1 2 4

Przekształćmy nierówność, którą mamy rozwiązać.

2 2 2x + 2x x1 + x2 ≤ ---+ ---= --1-----2- x1 x2 x 1x2 2x1 +-2x2- 0 ≤ x1x 2 − (x1 + x2) ( ) 0 ≤ (x 1 + x 2) --2--− 1 = (x1 +-x2)(2−--x1x2). x1x2 x1x 2

Korzystamy teraz z zapisanych wcześniej wzorów Viète’a

m- ( m-−1) 2 ⋅ 2 − 4 0 ≤ -----m-−1------ 4 m-(9-−-m-) 0 ≤ 2 (m − 1) / ⋅(− 2) 0 ≥ m-(m-−--9). m − 1

Przy założeniu m ⁄= 1 , nierówność ta jest równoważna nierówności wielomianowej

0 ≥ m (m − 1)(m − 9).

Zaznaczamy teraz miejsca zerowe prawej strony na osi.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie

m ∈ (− ∞ ,0⟩ ∪ (1,9⟩.

Z tego zbioru musimy jeszcze wyrzucić m = 2 (z warunku z -ą), więc końcowa odpowiedź to

m ∈ (− ∞ ,0⟩ ∪ (1,2)∪ (2,9⟩.

Odpowiedź: m ∈ (− ∞ ,0⟩∪ (1 ,2 )∪ (2,9⟩