/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Liczba pierwiastków

Zadanie nr 1791104

Dane jest równanie 2 √ -- 2 (m − 1)x + 7mx + m + m + 1 = 0 z niewiadomą x . Sporządź wykres funkcji m ↦→ f(m ) , gdzie f(m ) oznacza liczbę rzeczywistych pierwiastków danego równania.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli m = 1 to mamy równanie √ -- 7x + 3 = 0 , które ma jedno rozwiązanie.

Jeżeli równanie jest kwadratowe, to liczymy Δ -ę.

Δ = 7m 2 − 4 (m − 1)(m 2 + m + 1) = − 4m 3 + 7m2 + 4.

Musimy rozłożyć otrzymany wielomian. Szukamy najpierw pierwiastków całkowitych wśród dzielników wyrazu wolnego. Chwilę kombinując można znaleźć pierwiastek m = 2 . Dzielimy wielomian przez m − 2 – my zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 − 4m + 7m + 4 = − 4(m − 2m )− m + 2m − 2m + 4 = = − 4m 2(m − 2) − m (m − 2)− 2(m − 2) = (m − 2)(− 4m 2 − m − 2).

Łatwo sprawdzić, że trójmian w nawiasie nie ma pierwiastków, jest więc zawsze ujemny. Zatem

( |{ Δ > 0 dla m < 2 Δ = 0 dla m = 2 |( Δ < 0 dla m > 2.

Uwzględniając fakt, że dla m = 1 mamy równanie liniowe, dane równanie ma następującą liczbę rozwiązań

( |{ 0 dla m ∈ (2,+ ∞ ) f (m) = 1 dla m = 1 lub m = 2 |( 2 dla m ∈ (− ∞ ,1)∪ (1,2).

Pozostało naszkicować wykres funkcji f .

PIC

Wersja PDF