Zadanie nr 1698886
Dla jakich iloczyn pierwiastków układu równań
![{ x + y = 2m − 1 x 2 + y 2 = m 2 + 2m − 3](https://img.zadania.info/zad/1698886/HzadT1x.gif)
przyjmuje wartość minimalną?
Rozwiązanie
Przekształcamy drugie równanie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
![(x+ y)2 − 2xy = m 2 + 2m − 3.](https://img.zadania.info/zad/1698886/HzadR0x.gif)
Teraz podstawiamy z pierwszego równania
![2 2 (2m − 1) − 2xy = m + 2m − 3 2 2 4m − 4m + 1− m − 2m + 3 = 2xy 3m 2 − 6m + 4 = 2xy xy = 3m 2 − 3m + 2. 2](https://img.zadania.info/zad/1698886/HzadR2x.gif)
Spróbujmy się teraz zastanowić dla jakich ten układ ma rozwiązanie. Na mocy wzorów Viète’a, rozwiązania tego układu są rozwiązaniami równania kwadratowego
![( ) 2 3- 2 x − (2m − 1)x+ 2m − 3m + 2 = 0 .](https://img.zadania.info/zad/1698886/HzadR4x.gif)
Sprawdźmy kiedy to równanie ma rozwiązania.
![( 3 ) 0 ≤ Δ = (2m − 1)2 − 4 -m 2 − 3m + 2 = 4m 2 − 4m + 1 − 6m 2 + 12m − 8 2 0 ≤ − 2m 2 + 8m − 7 2 2m − 8m + 7 ≤ 0 Δ = 64− 56 = 8 √ -- √ -- √ -- √ -- 8-−-2--2- 4-−---2- 8-+-2--2- 4-+---2- m 1 = 4 = 2 ≈ 1 ,29 m 2 = 4 = 2 ≈ 2,71 m ∈ ⟨m1,m 2⟩.](https://img.zadania.info/zad/1698886/HzadR5x.gif)
Przypomnijmy sobie teraz, że mamy znaleźć najmniejszą wartość funkcji
![f(m ) = x x = 3m 2 − 3m + 2 1 2 2](https://img.zadania.info/zad/1698886/HzadR6x.gif)
Parabola będąca wykresem tej funkcji ma ramiona skierowane w górę, oraz wierzchołek w punkcie
![m = 3-= 1, w 3](https://img.zadania.info/zad/1698886/HzadR7x.gif)
więc najmniejszą wartość otrzymamy dla
![√ -- 4−----2- m = 2](https://img.zadania.info/zad/1698886/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: