Wyznacz wszystkie liczby m, dla których istnieją dwie liczby... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 9562834

Forum

Stopnia 2

Zadanie nr 9562834

Wyznacz wszystkie liczby $m$ , dla których istnieją dwie liczby rzeczywiste, których suma i iloczyn są równe $m$ .
Uzasadnij, że jeżeli suma i iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest równa liczbie dodatniej $m$ , to suma sześcianów tych liczb jest nie mniejsza niż 16.

Rozwiązanie

Jeżeli $a$ i $b$ są liczbami o podanej własności, to mamy układ równań ${ a + b = m ab = m .$
Podstawiając $a$ z pierwszego równania do drugiego mamy
$(m − b)b = m ⇒ b2 − bm + m = 0.$
Równanie to ma rozwiązanie jeżeli $Δ ≥ 0$ . Zatem
$2 m − 4m ≥ 0 m (m − 4) ≥ 0.$
Stąd $m ∈ (− ∞ ,0⟩ ∪ ⟨4,∞ )$ .
Odpowiedź: $m ∈ (− ∞ ,0⟩∪ ⟨4,∞ )$
Obliczmy sumę sześcianów liczb $a$ i $b$ takich, że $a+ b = m$ i $ab = m$ . $a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 − ab) = 2 2 2 = (a + b)((a + b) − 3ab) = m (m − 3m ) = m (m − 3).$
Na mocy poprzedniego podpunktu wiemy, że $m ≥ 4$ zatem
$2 m (m − 3) ≥ 16 ⋅1 = 16.$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!