/Konkursy/Zadania/Równania/Wielomianowe/Stopnia 2

Zadanie nr 1980227

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a , b i c , funkcja

f(x ) = (x− a)(x − b)+ (x− b)(x − c)+ (x− c)(x− a)

ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształćmy dany wzór funkcji tak, aby obliczyć Δ -ę.

f(x) = (x− a)(x− b)+ (x− b)(x − c)+ (x− c)(x− a) = = x2 − ax− bx + ab + x2 − bx − cx + bc + x2 − ax − cx + ca = = 3x2 − (2a+ 2b + 2c)x + (ab + bc + ca).

Liczymy Δ -ę.

2 Δ = (2a + 2b + 2c) − 12(ab + bc + ca) = = 4a2 + 4b2 + 4c2 − 4ab − 4bc − 4ca = 2 2 2 = 2((a − b) + (b− c) + (c − a) ).

Ponieważ Δ ≥ 0 , równanie ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Sposób II

Aby wykazać, że funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe wystarczy pokazać, że przyjmuje ona zarówno wartość dodatnią jak i ujemną (tak naprawdę, do uzasadnienia tego potrzebna jest ciągłość funkcji wielomianowej, ale ponieważ ciągłość wyleciała z programu szkolnego, więc nie będziemy się nad tym rozwodzić).

Jeżeli założymy, że a ≥ b ≥ c (gdyby kolejność była inna to możemy zmienić nazwy literek) to

f(a) = (a − a)(a − b) + (a − b)(a − c)+ (a− c)(a− a ) = (a− b)(a− c) ≥ 0 f(b) = (b − a)(b − b) + (b − b)(b − c)+ (b− c)(b− a) = (b− c)(b− a) ≤ 0.

Widać więc, że funkcja musi przecinać oś x .

Wersja PDF