Zadanie nr 6614734

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą równanie

2 ⋅|x − 4 7| = |x + 6 1|.

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z faktu, że

|a| = |b| ⇐ ⇒ (a = b ∨ a = −b ).

Przekształcamy dane równanie.

2 ⋅|x − 47| = |x + 61| |2x − 9 4| = |x + 61 | 2x − 94 = x + 61 ∨ 2x− 94 = −x − 61 x = 155 ∨ 3x = 33 x = 155 ∨ x = 11.

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą to równanie jest więc n = 11 .

Sposób II

Tym razem rozpatrzymy trzy możliwe znaki wyrażeń w równaniu.

Jeżeli x ≥ 47 , to mamy równanie

2x − 94 = x + 61 ⇒ x = 155

Jeżeli x ∈ ⟨− 61,47) , to mamy równanie

− 2(x − 47 ) = x+ 61 33 = 3x ⇒ x = 11.

Jeżeli wreszcie x < − 61 , to mamy dokładnie ten sam rachunek, co w pierwszym przypadku, czyli równanie jest w takiej sytuacji sprzeczne.

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą to równanie jest więc n = 1 1 .
Odpowiedź: n = 11