Zadanie nr 8387917

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą równanie

2 ⋅|x + 5 7| = |x − 3 9|.

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy z faktu, że

|a| = |b| ⇐ ⇒ (a = b ∨ a = −b ).

Przekształcamy dane równanie.

2 ⋅|x+ 57| = |x− 39| |2x + 11 4| = |x − 39 | 2x + 114 = x − 39 ∨ 2x+ 114 = −x + 39 x = − 153 ∨ 3x = − 75 x = − 153 ∨ x = − 25.

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą to równanie jest więc n = − 153 .

Sposób II

Tym razem rozpatrzymy trzy możliwe znaki wyrażeń w równaniu.

Jeżeli x < − 57 , to mamy równanie

− 2 (x+ 57) = − (x − 39) 2x+ 114 = x − 39 ⇒ x = − 15 3.

Jeżeli x ∈ ⟨− 57,39) , to mamy równanie

2 (x+ 57) = − (x − 39) 3x = − 75 ⇒ x = − 25.

Jeżeli wreszcie x ≥ 39 , to mamy dokładnie ten sam rachunek, co w pierwszym przypadku, czyli równanie jest w takiej sytuacji sprzeczne.

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą to równanie jest więc n = − 15 3 .
Odpowiedź: n = − 153