/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną/Liniowe/Rozwiąż równanie

Zadanie nr 9461745

Rozwiąż równanie ||x − 3| + |x+ 7|| = 1 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Rozważamy trzy przypadki.
Jeżeli x ≥ 3 to mamy równanie

|x − 3 + x + 7| = 1 2 |2x + 4 | = 12 / : 2 x+ 2 = − 6 lub x + 2 = 6 x = − 8 lub x = 4 .

Pierwsze rozwiązanie nie spełnia założenia x ≥ 3 , więc mamy w tym przypadku x = 4 .
Jeżeli x ∈ ⟨− 7,3 ) to mamy równanie

|− (x − 3) + (x + 7)| = 12 |10 | = 1 2,

które jest oczywiście sprzeczne.
Jeżeli wreszcie x < − 7 to mamy równanie

|− (x − 3) − (x + 7)| = 12 |(x − 3) + (x + 7)| = 12 ,

czyli dokładnie to samo, co w pierwszym przypadku. Otrzymamy więc w tym przypadku rozwiązanie x = − 8 .

Podsumowując, równanie ma dwa rozwiązania: x = − 8 lub x = 4 .

Sposób II

Zauważmy, że zawsze

|x − 3| + |x+ 7| ≥ 0,

więc dane równanie jest równoważne równaniu

|x − 3|+ |x + 7 | = 1 2

(bez zewnętrznej wartości bezwzględnej). Tak jak poprzednio rozważamy teraz 3 przypadki.
Jeżeli x ≥ 3 , to mamy równanie

x − 3 + x + 7 = 12 ⇐ ⇒ 2x = 8 ⇐ ⇒ x = 4

i jedno rozwiązanie x = 4 .
Jeżeli x ∈ ⟨− 7,3 ) to mamy równanie

12 = − (x − 3) + (x + 7) = 1 0,

które jest oczywiście sprzeczne.
Jeżeli wreszcie x < − 7 to mamy równanie

− (x − 3) − (x + 7) = 12 ⇐ ⇒ − 16 = 2x ⇐ ⇒ x = − 8,

które ma jedno rozwiązanie x = − 8 .
Podsumowując, równanie ma dwa rozwiązania: x = − 8 lub x = 4 .

Na koniec (dla ciekawskich) wykres funkcji f(x ) = ||x − 3|+ |x+ 7|| − 12 .

PIC

 
Odpowiedź: {− 8,4 }

Wersja PDF