Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9040433

Rozwiąż równanie 8|sinx | = |x + 20 |+ |x + 28| .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Aby opuścić wartości bezwględne z prawej strony równania rozważamy trzy przypadki.
Jeżeli x < − 28 to wyrażenia pod każdą z wartości bezwzględnych są ujemne i mamy równanie

8| sin x| = −x − 20 − x − 28 = − 2x− 48.

Zauważmy teraz, że z założenia x < − 28 wynika, że

− 2x − 4 8 > (− 2)⋅(− 2 8)− 4 8 = 8.

To oznacza, że równanie jest sprzeczne, bo lewa strona równania nie może być większa niż 8.
Jeżeli x > − 20 to wyrażenia pod obiema wartościami bezwzględnymi są dodatnie i mamy równanie

8|sin x| = x + 20 + x + 28 = 2x+ 48.

Z założenia x > −2 0 mamy

2x + 4 8 > 2⋅ (−2 0)+ 48 = 8,

więc tak jak poprzednio równanie jest sprzeczne.
Jeżeli wreszcie x ∈ ⟨− 28,− 20⟩ to mamy równanie

8|sinx | = −x − 2 0+ x+ 28 = 8 |sin x| = 1.

Rozwiązaniami tego równania są liczby x = π-+ kπ 2 , gdzie k ∈ C , ale nie możemy zapomnieć o warunku x ∈ ⟨− 28,− 20⟩ . Sprawdzamy na kalkulatorze, że

π -2 − 10π ≈ − 29 ,8 < − 28 π -- − 9π ≈ − 26,7 ∈ ⟨− 28 ,− 2 0⟩ 2 π- − 7π ≈ − 20,4 ∈ ⟨− 28 ,− 2 0⟩ 2 π- − 6π ≈ − 17,3 > − 20. 2

Równanie ma więc trzy rozwiązania:

{ } { } π-− 9π, π-− 8π , π − 7π = − 1-7π ,− 15π-,− 13π- 2 2 2 2 2 2

 
Odpowiedź: { } − 17π ,− 15π-,− 13π 2 2 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!