/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną/Kwadratowe/Rozwiąż równanie

Zadanie nr 3004505

Rozwiąż równanie 2 |x − 4x | = 6− |x | .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie w postaci

|x(x − 4)|+ |x| = 6 .

Wyrażanie pod pierwszą wartością bezwzględną jest dodatnie dla x ∈ (− ∞ ,0) ∪ (4,+ ∞ ) . Mamy zatem 3 przypadki.

Jeżeli x ∈ (− ∞ ,0) , to mamy równanie

x2 − 4x − x = 6 2 x − 5x − 6 = 0 Δ = 25 + 24 = 4 9 x1 = − 1 x2 = 6.

Tylko pierwsze z tych rozwiązań jest w przedziale (− ∞ ,0) .

Jeżeli x ∈ ⟨0,4⟩ to

2 − x + 4x + x = 6 2 x − 5x + 6 = 0 Δ = 2 5− 24 = 1 x = 2 x = 3. 1 2

Jeżeli x ∈ (4,+ ∞ ) to

2 x − 4x + x = 6 x 2 − 3x − 6 = 0 Δ = 9 + 24√ =--33 √ --- 3 − 33 3 + 3 3 x 1 = --------- x2 = ---------. 2 2

Tylko druga z tych liczb jest w przedziale (4,+ ∞ ) .  
Odpowiedź: 3+√ 33 x ∈ { − 1,2,3,--2---}

Wersja PDF