Zadanie nr 1147099
Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie
z niewiadomą
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie
Przekształćmy odrobinę równanie tak, aby miało prostszą postać.

Sposób I
Możemy narysować wykres lewej strony równania – zaczynamy od hiperboli , przesuwamy ją o 1 jednostkę w górę i 1 jednostkę w lewo, następnie odbijamy część poniżej osi
do góry.

Z tego wykresu łatwo odczytać, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli
.
Sposób II
Po pierwsze, jeżeli to równanie to nie ma rozwiązań. Jest też jasne, że jeżeli
, to to jedynym rozwiązaniem równania jest
. Załóżmy więc, że
. Wtedy równanie jest równoważne dwóm równaniom

Powyższy rachunek ma oczywiście sens tylko jeżeli . Dla
lewe równanie jest sprzeczne, więc interesujące nas równanie ma jedno rozwiązanie.
Sprawdźmy jeszcze tylko, czy otrzymane wyżej pierwiastki mogą być równe

Odpowiedź: lub