Zadanie nr 3229521

Dany jest wielomian 8 5 W (x) = 5x + 8x określony dla dowolnej liczby rzeczywistej . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

( ) --|x|-- W 1 + |x| = m

ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Rozwiązanie

Tak naprawdę mamy wyznaczyć zbiór wartości funkcji

( ) y = W --|x-|-- . 1+ |x |

Zanim to jednak zrobimy, spróbujmy zrozumieć jak zachowuje się funkcja

|x| f (x) = -------. 1 + |x|

Jest to funkcja parzysta (to znaczy f (−x ) = f(x ) ), czyli wykres zarówno tej funkcji jak i funkcji W (f (x)) jest symetryczny względem osi . Funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe: x = 0 . Jej wartości zawierają się w przedziale [0,1) – bo |x| > 0 i |x| < 1+ |x | . Jeżeli zapiszemy jej wzór w postaci

f(x ) = --|x|--= 1-+-|x|−--1 = 1 − ---1---, 1 + |x| 1 + |x| 1 + |x|

to widać też, że jest to funkcja rosnąca w przedziale [0,+ ∞ ) i malejąca w przedziale (− ∞ ,0] (bo wyrażenie --1-- 1+|x| maleje wraz ze wzrostem |x| ). Tą ostatnią obserwację możemy uzasadnić licząc pochodną. Jeżeli x > 0 , to

( ) ′ --1--- ′ ----1---- f (x) = 1− 1 + x = (1 + x)2 .

Pochodna jest dodatnia na przedziale (0,+ ∞ ) , więc rośnie dla x ∈ [0,+ ∞ ] . Jak już zauważyliśmy wcześniej funkcja jest parzysta, więc na przedziale (− ∞ ,0] jest malejąca. Ponadto

xl→im− ∞f (x) = xl→im+∞ f(x ) = 1.

Mamy więc już dość informacji, żeby dość dokładnie naszkicować wykres funkcji .

ZINFO-FIGURE

Ustaliśmy więc, że w równaniu

( ) --|x|-- W 1 + |x| = m

do wielomianu y = W (x) wstawiamy tylko wartości z przedziału [0 ,1 ) . Sprawdźmy jak zachowuje się ten wielomian tym przedziale. Liczymy pochodną

W ′(x) = 40x7 + 40x4 = 40x4(x3 + 1).

Widać, że w przedziale (0,1) pochodna wielomianu jest dodatnia, więc jest on rosnący na przedziale [0,1) . Jego zbiorem wartości na tym przedziale jest więc przedział