Zadanie nr 9969883
Dane jest równanie z niewiadomą
. Wyznacz liczbę rozwiązań tego równania w zależności od parametru
.
Rozwiązanie
Sposób I
Możemy narysować wykres lewej strony równania – jest to hiperbola przesunięta o 3 jednostki w górę i część poniżej osi jest zagięta do góry.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9969883/HzadR1x.gif)
Z tego wykresu łatwo odczytujemy liczbę jego punktów przecięcia z prostą .
Sposób II
Po pierwsze, jeżeli to równanie to nie ma rozwiązań. Jeżeli natomiast
, to równanie to jest równoważne dwóm równaniom
![2 2 -+ 3 = p --+ 3 = −p x x 2-= p − 3 2-= −p − 3 x x --2--- ---2---- x = p − 3 x = −p − 3.](https://img.zadania.info/zad/9969883/HzadR5x.gif)
Widać więc, że maksymalnie są dwa rozwiązania. Pozostało sprawdzić, co się dzieje dla i kiedy te dwa rozwiązania są równe.
Dla dwa pierwsze z równań nie ma rozwiązania (bo jest postaci
), zatem wyjściowe równanie ma jedno rozwiązanie.
Sprawdźmy jescze kiedy dwa rozwiązania są równe
![--2--- ---2---- p − 3 = −p − 3 p− 3 = −p − 3 p = 0.](https://img.zadania.info/zad/9969883/HzadR9x.gif)
Zatem wyjściowe równanie ma
![( | 0 rozwi ązań dla p < 0 { | 1 rozwi ązanie dla p = 0 lub p = 3 ( 2 rozwi ązania dla p ∈ (0,3) ∪ (3,∞ )](https://img.zadania.info/zad/9969883/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: