/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe

Zadanie nr 1341475

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 mx − (m + 1 )x + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x 1 oraz x2 , spełniające warunek:

1 1 1 1 --+ ---+ 2 ≥ ---+ --- x1 x2 x21 x22
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Oczywiście musi być m ⁄= 0 oraz

2 2 2 0 < Δ = (m + 1) − 4m = m − 2m + 1 = (m − 1 ) m ⁄= 1 .

Ze względu na występowanie pierwiastków w mianownikach, muszą one być niezerowe, ale na szczęście zawsze tak jest – co łatwo sprawdzić podstawiając x = 0 do danego równania.

Przy poczynionych założeniach możemy zapisać wzory Viète’a

{ x 1 + x 2 = m+m-1 x x = 1- 1 2 m

Musimy więc rozwiązać nierówność.

1 1 1 1 ---+ ---+ 2 ≥ -2-+ --2 x1 x2 x1 x 2 x + x x2 + x2 -1----2-+ 2 ≥ -1----2- / ⋅(x1x2)2 x1x2 (x1x2)2 (x1 + x2)x1x2 + 2(x 1x 2)2 ≥ (x1 + x2)2 − 2x1x2.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

(m + 1) 2 (m + 1)2 2 --------+ --- ≥ --------- − -- /⋅ m2 m 2 m 2 m 2 m m + 1 + 2 ≥ (m + 1)2 − 2m 2 0 ≥ m − m − 2 Δ = 1 + 8 = 9 m = 1-−-3-= − 1 lub m = 1+--3-= 2 2 2 m ∈ [− 1,2].

Uwzględniając poprzednie założenia, otrzymujemy

m ∈ [− 1,0)∪ (0 ,1 )∪ (1,2].

 
Odpowiedź: m ∈ [− 1,0)∪ (0,1) ∪ (1,2]

Wersja PDF