/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe

Zadanie nr 1764493

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkt (p,q) należy do zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy równanie x 2 − 2px + q = 0 ma dwa różne rozwiązania x1 i x2 takie, że x21 + x22 = 2 . Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór A .

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki

2 2 0 < Δ = 4p − 4q ⇒ q < p .

Skorzystamy teraz ze wzorów Viète’a

x1 + x2 = 2p x1x2 = q.

Liczymy

2 = x21 + x22 = (x 1 + x2)2 − 2x 1x2 = 4p2 − 2q 2 q = 2p − 1.

Zobaczmy teraz, co ta równość oznacza dla wcześniej uzyskanego warunku z Δ -y.

2p2 − 1 = q < p 2 2 p − 1 < 0 (p− 1)(p + 1) < 0 ⇒ p ∈ (− 1,1).

Szukany wykres to zatem parabola q = 2p 2 − 1 obcięta do przedziału (− 1,1) .

PIC

Wersja PDF