Zadanie nr 4260470

Dany jest trójmian kwadratowy 2 f(x) = (2m + 9)x + 2 (2m + 3)x − 2m + 1 . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x2 , spełniające warunek x 2− x 2= x4− x4 1 2 1 2 .

Rozwiązanie

Jeżeli funkcja ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi to być funkcja kwadratowa, czyli m ⁄= − 92 . Sprawdzamy teraz, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki.

0 < Δ = 4(2m + 3)2 − 4(2m + 9)(− 2m + 1 ) = 4((2m + 3)2 + (2m + 9)(2m − 1)) = ( 7) = 4(4m 2 + 12m + 9+ 4m 2 − 2m + 18m − 9) = 4 (8m 2 + 28m ) = 3 2m m + -- . ( ) 2 7 m ∈ − ∞ ,− -- ∪ (0,+ ∞ ). 2

Przy powyższym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a

{ x1 + x 2 = −-2(22mm++93)= −42mm+−96 −-2m+1 1−2m- x1x2 = 2m+ 9 = 2m+ 9.

Przekształćmy teraz dany warunek tak, aby móc zastosować wzory Viète’a. Zauważmy, że założyliśmy, że x1 ⁄= x2 , więc możemy dzielić przez x1 − x2 . Zauważmy ponadto, że gdyby x1 + x2 = 0 , to z powyższych wzorów Viète’a mielibyśmy m = − 3 2 , a to jest sprzeczne z warunkiem na –ę. Możemy więc dzielić przez 2 2 x1 − x2 = (x1 − x2)(x 1 + x 2) .