Zadanie nr 4345164

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

2 2 x + (4 − 3m )x + 2m − 6m + 5 = 0

ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału (1,+ ∞ ) .

Rozwiązanie

Po pierwsze, jeżeli równanie ma mieć dwa różne pierwiastki, to musi być Δ > 0 , czyli

2 2 0 < Δ = (4 − 3m ) − 4(2m − 6m + 5) = = 16 − 24m + 9m 2 − 8m 2 + 24m − 20 = m 2 − 4 m ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (2,+ ∞ ).

Sposób I

Jak zapisać warunek, że pierwiastki są większe od 1? – najlepiej jest myśleć o paraboli, jej punkty przecięcia z osią muszą być na prawo od 1.

Jak to zapisać? Na pewno wierzchołek musi być na prawo od 1, czyli

4-−-3m- 1 < xw = − 2 ⇐ ⇒ 2 < 3m − 4 ⇐ ⇒ m > 2.

To jednak nie wystarczy, bo mniejszy pierwiastek może być nadal przed jedynką. Aby to wykluczyć, musimy jeszcze zażądać, aby wartość w x = 1 była dodatnia, czyli

0 < f(1) = 1 + (4 − 3m ) + 2m 2 − 6m + 5 = 2m 2 − 9m + 10 Δ = 81 − 80 = 1 9− 1 9+ 1 5 m 1 = ------= 2, m 2 = ------= -- 4 ( ) 4 2 m ∈ (− ∞ ,2) ∪ 5,+ ∞ . 2

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: (5 ) m ∈ 2,+ ∞ .

Sposób II

Wystarczy sprawdzić, kiedy mniejszy z pierwiastków jest na prawo od 1. Liczymy

√ -- −b--−---Δ- > 1 2a √ ------- 3m − 4 − m 2 − 4 ------------------- > 1 / ⋅2 2∘ ------- 3m − 4− m 2 − 4 > 2 ∘ -2----- 3m − 6 > m − 4.

Chcielibyśmy teraz podnieść tę nierówność do kwadratu, ale aby móc to zrobić musimy założyć, że lewa strona jest nieujemna czyli, że m ≥ 2 (jeżeli tak nie jest to nierówność jest sprzeczna).

∘ ------- m2 − 4 < 3m − 6 /()2 m 2 − 4 < 9m 2 − 36m + 36 2 0 < 8m − 36m + 40 / : 4 0 < 2m 2 − 9m + 10 Δ = 81 − 80 = 1 9 − 1 9+ 1 5 m 1 = --4---= 2, m 2 = --4--= 2- ( ) m ∈ (− ∞ ,2)∪ 5,+ ∞ . 2

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: ( ) m ∈ 52,+ ∞ .

Sposób III

Jeżeli pierwiastki x1,x2 danego równania mają być większe od 1, to liczby x1 − 1 i x 2 − 1 muszą być obie dodatnie. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn i suma są dodatnie.

{ 0 < (x1 − 1)(x 2 − 1) = x1x2 − (x1 + x2)+ 1 0 < (x1 − 1) + (x2 − 1) = (x 1 + x 2)− 2.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

{ x1 + x2 = 3m − 4 x1x2 = 2m2 − 6m + 5.

Musimy więc rozwiązać układ nierówności

{ 2 2 0 < 2m − 6m + 5− 3m + 4+ 1 = 2m − 9m + 10 0 < 3m − 4 − 2 = 3m − 6

Rozwiązaniem drugiej nierówności jest przedział (2 ,+ ∞ ) , a pierwszą nierówność rozwiązujemy tak samo jak w poprzednich sposobach:

0 < 2m 2 − 9m + 10 Δ = 81 − 80 = 1 9 − 1 9+ 1 5 m 1 = ------= 2, m 2 = -----= -- 4 ( ) 4 2 m ∈ (− ∞ ,2)∪ 5,+ ∞ . 2

Łącząc wszystkie otrzymane warunki otrzymujemy rozwiązanie: ( ) m ∈ 5,+ ∞ 2 .

Sposób IV

Jeżeli ktoś nie boi się pochodnych, to warunek z treści zadania można zapisać jako f (1) > 0 i f′(1) < 0 – funkcja ma być malejąca w otoczeniu 1 (czyli jesteśmy na lewej połówce paraboli). Warunek f(1 ) > 0 tak jak w I sposobie prowadzi do nierówności