Zadanie nr 6191465

Liczby i są rozwiązaniami równania 2 x − 1107x + 9 = 0 . Oblicz wartość wyrażenia

√ -- √ -- log a a+ ---1----+ log b b+ ---1---. 3 alogb 3 3 bloga 3

Rozwiązanie

Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że jeżeli i są pierwiastkami danego równania to

{ a + b = 1 107 ab = 9.

Musimy teraz przekształcić dane wyrażenie tak, aby wyrazić je w zależności od a + b i . Korzystamy przy tym ze wzorów

log (xy) = log x + logy lo gyy 1 logx y = ------= ------. lo gyx logy x

Sposób I

Liczymy

√ -- 1 √b-- 1 1 log b 1 log a lo g3 aa + -------+ lo g3 b + --------= --log3a + ---3--+ --log3 b+ ---3--= alogb 3 b loga3 a a b b 1- 1- = a (log 3a + log3b )+ b(log3a + log 3b) = ( ) = 1-+ 1- lo g (ab) = a+-b-log (ab) a b 3 ab 3 110 7 = -----log 39 = 123 ⋅2 = 246. 9

Sposób II

Zauważmy najpierw, że

1- 1- a-+-b- 1107- a + b = ab = 9 = 123.

Stąd

√ -- lo g √aa--+ ---1---+ lo g bb + ---1----= 1-log a + 1log b+ 1-lo g b + 1-log a = 3 alogb 3 3 b loga3 a 3 a 3 b 3 b 3 ( 1 1 ) ( 1 1) = --+ -- lo g3a + --+ -- log3 b = a b a b = 123 lo g a + 123 log b = 123 lo g (ab) = 3 3 3 = 123 lo g39 = 123⋅ 2 = 246.

Odpowiedź: 246