Zadanie nr 7071933

Dla jakich wartości parametru suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania x2 + (m − 1 )x+ m2 − 5m + 4 = 0 przyjmuje wartość największą. Wyznacz tę wartość.

Rozwiązanie

Na początku sprawdźmy kiedy równanie ma dwa pierwiastki.

2 2 2 2 0 < Δ = (m − 1) − 4(m − 5m + 4 ) = m − 2m + 1 − 4m + 20m − 16 = = − 3m 2 + 18m − 15 = − 3(m 2 − 6m + 5) 2 0 > m − 6m + 5 Δ = 36 − 2 0 = 16 m = 6−--4-= 1, ∨ m2 = 6+--4-= 5 1 2 2 m ∈ (1,5).

Na mocy wzorów Viete’a mamy

{ x1 + x2 = − (m − 1 ) x1x2 = m 2 − 5m + 4 .

Zatem

x2 + x2 = (x + x )2 − 2x x = (m − 1)2 − 2(m 2 − 5m + 4) = 1 2 1 2 1 2 = m2 − 2m + 1− 2m 2 + 10m − 8 = −m 2 + 8m − 7

Wykresem tego wyrażenia jest parabola o ramionach skierowanych w dół, a jego dziedziną zbiór (1,5) . Ponieważ pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli m = 4 znajduje się w tym przedziale, to właśnie w nim powyższe wyrażenie przyjmuje największą wartość, która jest równa