Zadanie nr 8428848
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 (m + 3)x − (m + 2)x + (m + 3) = 0](https://img.zadania.info/zad/8428848/HzadT1x.gif)
ma dwa różne rozwiązania spełniające nierówność:
.
Rozwiązanie
Równanie musi być oczywiście kwadratowe, więc . Ponadto musi być
![2 2 0 < Δ = (m + 2) − 4 (m + 3) = (m + 2 −(2(m + 3)))(m + 2 + 2 (m + 3)) = 8 = (−m − 4 )(3m + 8) = − 3(m + 4) m + -- / : (− 3 ) ( ) ( 3) 8- 8- 0 > (m + 4 ) m + 3 ⇐ ⇒ m ∈ − 4,− 3 .](https://img.zadania.info/zad/8428848/HzadR1x.gif)
Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a
![{ m+ 2 x 1 + x 2 = m+-3 x 1x2 = m-+3 = 1. m +3](https://img.zadania.info/zad/8428848/HzadR2x.gif)
Pozostało rozwiązać nierówność
![14 x x x2 + x2 − ---≤ -1-+ --2= -1----2-= x21 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x 2 = (x1 + x2)2 − 2 9 x2 x 1 x1x2 ( m + 2 )2 4 ( m + 2 2) ( m + 2 2 ) 0 ≤ ------ − --= ------− -- ------ + -- = m + 3 9 m + 3 3 m + 3 3 ( ) ( ) ( ) 5m m + 12 = 3m-+-6-−-2m--−-6- 3m-+-6-+-2m--+-6- = m(5m--+-12)-= ----------5--. 3 (m + 3) 3 (m + 3) 9(m + 3)2 9(m + 3 )2](https://img.zadania.info/zad/8428848/HzadR3x.gif)
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór
![( ⟩ 12- m ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ − 3,− 5 ∪ ⟨0,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/8428848/HzadR4x.gif)
Uwzględniając warunek z –ą mamy zatem
![( ) 8 m ∈ (−4 ,−3 )∪ − 3,− 3- .](https://img.zadania.info/zad/8428848/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: