/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną/Układy równań/Liniowy

Zadanie nr 6542258

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań { |x|− y = 1 −x + |y| = 1 .

Rozwiązanie

Zacznijmy od rozwiązania rachunkowego. Mamy cztery możliwe przypadki

  • x ≥ 0 i y ≥ 0
    { x− y = 1 −x + y = 1

    Dodając te równania stronami widać, że układ jest sprzeczny.

  • x ≥ 0 i y < 0
    { x− y = 1 −x − y = 1

    Dodając te równania stronami widać, że y = − 1 i x = 0 .

  • x < 0 i y ≥ 0
    { −x − y = 1 −x + y = 1

    Dodając te równania stronami widać, że x = − 1 i y = 0 .

  • x < 0 i y < 0
    { −x − y = 1 −x − y = 1

    Mamy zatem y = −x − 1 i x ∈ (− 1 ,0 ) (warunek na x wynika z nierówności x < 0 i y < 0 ).

Wszystkie podpunkty razem dają rozwiązanie y = −x − 1 i x ∈ ⟨− 1,0⟩ .

Teraz pora na rozwiązanie geometryczne. Rysujemy w jednym układzie wpołrzędnych wykresy y = |x|− 1 i x = |y|− 1 . Pierwszy z tych wykresów to y = |x| przesunięty o jedna jednostkę w dół, a ten drugi to dokłądnie to samo, ale przy zamienionych osiach x i y miejscami (wygodnie obrócić sobie kartkę o ∘ 90 ). Inny sposób narysowania drugiego wykresu to rozbicie go na dwa wzory y = x+ 1 dla y ≥ 0 (czyli x ≥ − 1 ) oraz y = −x − 1 dla y < 0 (czyli x > − 1 ).

PIC

Widać, że wykresy te pokrywają się na przedziale ⟨− 1,0⟩  
Odpowiedź: y = −x − 1 i x ∈ ⟨− 1,0⟩

Wersja PDF