Zadanie nr 1178334

Dla jakich wartości parametru , odwrotność sumy pierwiastków równania

2x + m (1 − x2) = 2 + 2x 2

jest dodatnia?

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie w postaci ogólnej.

2 2 2x + m − mx = 2 + 2x x2(2 + m )− 2x + 2− m = 0

Na początek zobaczmy co się dzieje, gdy równanie nie jest kwadratowe, czyli dla m = − 2 . Mamy wtedy równanie

− 2x + 4 = 0,

które ma pierwiastek dodatni x = 2 , czyli jest OK.

Jeżeli równanie jest kwadratowe, to sprawdźmy kiedy ma pierwiastki.

0 ≤ Δ = 4 − 4(2 − m )(2 + m ) = 4 − 4(4 − m 2) = 4(m 2 − 3) √ -- √ -- 0 ≤ (m − 3)(m + 3) m ∈ (− ∞ ,− √ 3⟩∪ ⟨√ 3-,+∞ ).

Na mocy wzorów Viète’a mamy

1 1 1 2+ m 0 < --------= −b-= --2--= ------ x1 + x2 -a- 2+m 2 0 < 2+ m ⇒ − 2 < m.

Uwzględniając warunek z -ą i przypadek m = − 2 , mamy

√ -- √ -- m ∈ ⟨− 2,− 3⟩ ∪ ⟨ 3,+ ∞ ).

Zauważmy, że ten rachunek jest też poprawny, gdy równanie ma jeden pierwiastek podwójny x0 = x1 = x 2 , czyli gdy m 2 = 3 . Tak jest, bo wtedy

1--= 1-⋅ ---1---. x0 2 x1 + x2

Odpowiedź: √ -- √ -- m ∈ ⟨− 2,− 3⟩∪ ⟨ 3 ,+∞ )