Zadanie nr 2128188

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

2 (1− m)x − (m + 2)x + m + 1 = 0

ma przynajmniej jedno rozwiązanie ujemne.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli m = 1 to mamy równanie

− 3x + 2 = 0,

które ma tylko rozwiązanie dodatnie.

Jeżeli m ⁄= 1 to mamy równanie kwadratowe i liczymy -ę, żeby ustalić kiedy ma ono pierwiastki.

Δ = (m + 2 )2 − 4 (1 − m )(m + 1) = m 2 + 4m + 4− 4 (1− m2) = ( 4) = m 2 + 4m + 4 − 4 + 4m 2 = 5m 2 + 4m = 5m m + -- . 5

Widać zatem, że Δ ≥ 0 dla m ∈ (− ∞ ,− 4⟩ ∪ ⟨0,+ ∞ ) 5 .

Pozostało ustalić, kiedy przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny.

Sposób I

Zamiast sprawdzać, kiedy jeden z pierwiastków jest ujemny sprawdźmy warunek przeciwny, czyli warunek, że oba pierwiastki i x 2 są nieujemne. Tak będzie jeżeli x1 + x2 ≥ 0 i x1x2 ≥ 0 . Na mocy wzorów Viète’a możemy te nierówności zapisać w postaci:

m + 2 0 ≤ x1 + x2 = ------ ⇐ ⇒ m ∈ ⟨− 2,1) 1 − m 0 ≤ x x = m-+-1- ⇐ ⇒ m ∈ ⟨−1 ,1). 1 2 1− m

Zatem oba pierwiastki są nieujemne dla m ∈ ⟨− 1,1) . To oznacza, że przynajmniej jeden z nich jest ujemny dla m ∈ (− ∞ ,− 1)∪ ⟨1,+ ∞ ) . Uwzględniając przypadek m = 1 i warunek z -ą otrzymujemy

m ∈ (− ∞ ,− 1)∪ (1,+ ∞ ).

Sposób II

Zastanówmy się jaki może być znak x1x2 . Jeżeli x1x2 < 0 to na pewno jeden z pierwiastków będzie ujemny. Tak będzie, gdy

m-+--1 0 > x1x 2 = 1 − m ⇐ ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 1)∪ (1 ,+∞ ).

Jeżeli natomiast x 1x2 ≥ 0 , czyli m ∈ ⟨− 1,1⟩ , to liczby i mają ten sam znak (lub są równe zero). Zatem jedna z nich będzie ujemna dokładnie wtedy, gdy x1 + x2 < 0 . Tak będzie, gdy