/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Znaki pierwiastków

Zadanie nr 4828049

Dla jakich wartości parametru k równanie 2 (k + 1)x + 2x + 1 = 0 ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Sprawdźmy najpierw, kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki. Musi być kwadratowe, czyli k ⁄= − 1 oraz

0 < Δ = 4 − 4k − 4 ⇒ k < 0.

Pierwiastki będą przeciwnych znaków jeżeli ich iloczyn będzie ujemny. Ze wzorów Viète’a

0 > x x = --1--- ⇐ ⇒ k < − 1. 1 2 k + 1

Mamy zatem

k ∈ (− ∞ ,−1 ).

Sposób II

Zauważmy, że jeżeli k > − 1 , to ramiona funkcji 2 f(x) = (k + 1)x + 2x + 1 są skierowane w górę oraz f(0) = 1 > 0 , więc w tym przypadku ewentualne pierwiastki f leżą po tej samej stronie osi Oy (czyli mają taki sam znak).

Jeżeli natomiast k < −1 , to ramiona funkcji f są skierowane w dół oraz f(0 ) = 1 , więc w tym przypadku funkcja na pewno ma dwa pierwiastki i muszą one leżeć pod dwóch stronach osi Oy (czyli mają różne znaki).

Dla k = − 1 równanie jest liniowe, więc nie może mieć dwóch pierwiastków.  
Odpowiedź: k ∈ (− ∞ ,− 1)

Wersja PDF