/Szkoła średnia/Równania/Kwadratowe/Z parametrem/Znaki pierwiastków

Zadanie nr 9003986

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie 2 5 x + mx + m + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki nieujemne.

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy podane równanie ma dwa różne pierwiastki. Liczymy

0 < Δ = m 2 − 4m − 5.

Rozwiązujemy tę nierówność kwadratową, Δ = 16 + 20 = 36 , m = − 1 lub m = 5 . Zatem m ∈ (−∞ ,− 1) ∪ (5,+ ∞ ) .

Oba pierwiastki są nieujemne, jeżeli ich suma i iloczyn są nieujemne. Na mocy wzorów Viète’a, mamy

{ 0 ≤ x + x = −m 1 2 0 ≤ x1x2 = m + 54. { m ≤ 0 − 5 ≤ m . 4

Uwzględniając nierówność pochodzącą od Δ –y, mamy 5 m ∈ ⟨− 4,− 1)  
Odpowiedź: m ∈ ⟨− 54,− 1)

Wersja PDF