Zadanie nr 9396687

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie x 2 − 2ax + a3 − 2a = 0 dwa różne rozwiązania dodatnie.

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw kiedy podane równanie ma dwa różne pierwiastki. Liczymy

2 3 2 3 0 < Δ = 4a − 4 (a − 2a ) = 4a − 4a + 8a / : (− 4) 0 > a3 − a 2 − 2a = a(a2 − a− 2).

Rozkładamy trójmian w nawiasie

Δm = 1+ 8 = 9 a = 1-−-3-= − 1 lub a = 1-+-3-= 2. 2 2

Nierówność z –ą ma więc postać

0 > a(a + 1)(a − 2) a ∈ (− ∞ ,− 1)∪ (0,2 ).

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a

{ 0 < x + x = 2a 1 2 3 2 √ -- √ -- 0 < x1x2 = a − 2a = a(a − 2) = a(a − 2)(a + 2).

Pierwsza nierówność tego układu jest spełniana tylko dla a > 0 i przy tym założeniu z drugiego układu mamy √ -- a > 2 .

Uwzględniając nierówność pochodzącą od –y, mamy

√ -- a ∈ ( 2,2).

Odpowiedź: √ -- a ∈ ( 2,2)

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!

Dodaj komentarz