/Szkoła średnia/Nierówności/Logarytmiczne/Rozwiąż nierówność

Zadanie nr 6987927

Rozwiąż nierówność 2 2 2 lo g28x − log 24x + log2 2x ≥ log2 64 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dziedziną podanej nierówności jest przedział (0,+ ∞ ) . Przekształćmy nierówność

2 2 2 (log 28 + log2x ) − (log 24 + log2x ) + (log 22+ lo g2x ) ≥ lo g264 (3 + log x)2 − (2+ lo g x )2 + (1 + log x)2 ≥ log 64 = 6. 2 2 2 2

Żeby sobie trochę uprościć zapis, oznaczmy t = lo g2x .

2 2 2 9 + 6t + t − 4− 4t− t + 1+ 2t+ t ≥ 6 t2 + 4t ≥ 0 t(t+ 4) ≥ 0 t ∈ (− ∞ ,− 4⟩∪ ⟨0 ,+∞ ) lo g2x ≤ − 4 ∨ lo g2x ≥ 0 1 lo g2x ≤ lo g2--- ∨ log2x ≥ log21 1 6 x ≤ -1- ∨ x ≥ 1. 16

Uwzględniając dziedzinę mamy

( ⟩ x ∈ 0 , 1- ∪ ⟨1 ,+∞ ) 16

 
Odpowiedź: ( ⟩ 0,-1 ∪ ⟨1,+ ∞ ) 16

Wersja PDF