/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Bez treści/Warunkowe

Zadanie nr 5438832

Niech A , B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach P(A ) i P (B ) . Wykaż, że jeżeli P (A) = 0,85 i P(B ) = 0,75 , to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność P (A |B ) ≥ 0,8.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw co musimy udowodnić. Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe mamy:

P(A |B) = P(A--∩-B)-≥ 0 ,8 P (B ) P(A ∩ B) ≥ 0 ,8 ⋅0,75 = 0,6

Korzystamy teraz ze wzoru P (A ∪ B ) = P(A ) + P(B )− P(A ∩ B ) .

P(A ∩ B ) = P (A) + P(B )− P (A ∪ B) = 0,85+ 0,75− P (A ∪ B ) = 1,6− P (A ∪ B ).

Zatem nierówność, którą mamy udowodnić ma postać

1,6 − P (A ∪ B) ≥ 0,6

czyli P (A ∪ B) ≤ 1 , a ta nierówność jest oczywiście zawsze spełniona. Żeby dostać teraz porządne rozwiązanie (np. gdybyśmy rozwiązywali to zadanie na maturze), powinniśmy przepisać powyższe przekształcenia od końca, tzn. startujemy od P(A ∪ B) ≤ 1 , potem ze wzoru zamieniamy P(A ∪ B) na P (A ∩ B ) itd.

Wersja PDF