/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Bez treści/Działania na zbiorach

Zadanie nr 1237123

Oblicz prawdopodobieństwo ′ ′ P (A ∪ B ) , jeśli ′ 1 ′ 1 P(A ) = 4, P(B ) = 2 i P (A ∪ B ) = 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy diagram Venna.

PIC

Sposób I

Liczymy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

P(A ′ ∪ B ′) = P (A ′) + P (B′)− P(A ′ ∩ B ′) = 1+ 1-− P (A′ ∩ B′). 4 2

Patrzymy teraz na diagram Venna i zauważamy, że

A ′ ∩ B ′ = (A ∪ B)′.

Mamy zatem

′ ′ 3- ′ 3- 3- P(A ∪ B ) = 4 − P ((A ∪ B) ) = 4 − (1 − P (A ∪ B )) = 4.

Sposób II

Od razu mamy

′ 3- ′ 1- P (A) = 1− P(A ) = 4, P(B ) = 1− P(B ) = 2.

Patrzymy na diagram Venna, to powinno być widać, że

A′ ∪ B′ = (A ∩ B )′

Jest to jedno z praw de’Morgana, można je czytać tak: w A ′ ∪ B ′ są zdarzenia, które nie są A lub nie są w B , czyli takie, które nie są A ∩ B . Pozostało teraz skorzystać ze znanego wzoru

3 1 3+ 2− 4 1 P(A ∩ B ) = P (A) + P (B) − P(A ∪ B) = -+ --− 1 = ----------= --. 4 2 4 4

Zatem

P(A ′ ∪ B ′) = P((A ∩ B )′) = 1− P(A ∩ B ) = 1 − 1-= 3. 4 4

Sposób III

Zamiast robić zadanie schematycznie, możemy od razu uważniej przyjrzeć się diagramowi Venna i zobaczyć, że

P(A ′ ∪ B′) = P (A ′) + P(A ∖B ) = P (A′)+ P(A ∪ B) − P(B ) = = 1+ 1− 1-= 1+--4−--2-= 3-. 4 2 4 4

 
Odpowiedź: ′ ′ 3 P (A ∪ B ) = 4

Wersja PDF