Zbiory

Zbiory i ich elementy Przypomnijmy, że zbiór składa się z elementów. Jeżeli jest elementem zbioru to piszemy

a ∈ X

i czytamy „ należy do zbioru ”.

Jeżeli nie jest elementem zbioru to piszemy

a ⁄∈ X .

Jeżeli każdy element zbioru jest jednocześnie elementem zbioru , to mówimy, że jest podzbiorem zbioru (lub, że zawiera się w ) i piszemy

A ⊆ B .

Mówimy, że dwa zbiory i są równe jeżeli składają się dokładnie z tych samych elementów. Piszemy wtedy

A = B .

Jeżeli A ⊆ B oraz A ⁄= B to mówimy, że jest podzbiorem właściwym . Piszemy wtedy

A ⊊ B .

Zbiór, który nie ma żadnych elementów nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem .

Zauważmy, że dla dowolnego zbioru mamy ∅ ⊆ A .

Różne sposoby deﬁniowania zbiorów 1. Opis słowny. Tego typu deﬁnicje zbiorów stosujemy co rusz w naszym codziennym życiu, często nie zdając sobie nawet z tego sprawy.

Mówiąc „wszyscy uczniowie klasy IIa” mamy na myśli zbiór składający się z uczniów tej klasy.

Opis słowny pozwala nam deﬁniować zbiory, których nawet nie jesteśmy w stanie sobie wyobrazić, np. „zbiór wszystkich atomów we wszechświecie”.

2. Rysunek. Schematyczne rysunki obrazujące zbiory jako „worki z elementami” są często bardzo wygodne, bo pozwalają łatwo ilustrować różne ich własności.

Lewy diagram przedstawia (symbolicznie) zbiór , który ma 6 elementów.
Zwróćmy uwagę, że sam diagram nic nam nie mówi o tym, jaka jest natura elementów zbioru (czy to są liczby, jabłka, a może jeszcze coś innego). O tego typu diagramie mówimy, że jest abstrakcyjny, bo abstrahuje od (nie uwzględnia) natury zbioru oraz jego elementów.
Często posuwamy się jeszcze dalej i rysujemy zbiory w ogóle nie zaznaczając ich elementów. Tak właśnie rozumiemy prawy diagram, który ilustruje możliwe relacje między elementami dwóch zbiorów i . Pomimo, że nie zaznaczyliśmy ani jednego elementu zbiorów i , wymowa diagramu powinna być jasna: jeżeli mamy dwa zbiory i to mogą być elementy, które należą tylko do , elementy które należą tylko do , oraz elementy, które należą do obu zbiorów naraz.

Poniższy diagram
jest symboliczną ilustracją trzech zbiorów spełniających warunek

C ⊆ B ⊆ A .

3. Wypisanie elementów. W przypadku zbiorów skończonych możemy wypisać wszystkie elementy zbioru. Robimy to umieszczając elementy zbioru w klamerkach: { } .

Zbiór zawierający 5 pierwszych liter alfabetu możemy zapisać w postaci

{a, b, c, d, e}.

W przypadku większych zbiorów stosujemy czasem notację z wielokropkiem, licząc na to, że czytelnik domyśli się o jaki zbiór nam chodzi. Np. domyślamy się, że zapis

{2,4,6,...,1 00}

ma oznaczać zbiór parzystych liczb naturalnych nie większych niż 100.
Podobną konwencję stosuje się też czasem w przypadku zbiorów nieskończonych, np. domyślamy się, że zapis

{2 ,4,6,...}

ma oznaczać zbiór liczb parzystych.

Zbiór zawiera tylko informację o tym, czy dany element do niego należy, czy nie. Nie zawiera natomiast informacji o kolejności elementów, ani o tym, że elementy są zwarte w zbiorze kilka razy. Np. każdy z zapisów

{ 1,2,3}, {2,1,3} , {1 ,1,3,2,1,2,3,2}

oznacza dokładnie ten sam zbiór.

4. Poprzez własności elementów. Bardzo wygodnym i uniwersalnym sposobem deﬁniowania zbiorów (szczególnie zbiorów liczbowych) jest deﬁnicja postaci

A = {T (x) : w (x)},

gdzie T(x ) jest pewnym wyrażeniem (funkcją) zawierającym zmienną , a w (x) jest warunkiem jaki zmienna ma spełniać. Powyższą deﬁnicję czytamy: jest zbiorem tych elementów postaci T (x) , które spełniają warunek w (x) . Dwukropek czytamy: takich, że.

Zbiór

2 {x ∈ R : x − 4 = 0}

jest zbiorem (rzeczywistych) rozwiązań równania x 2 − 4 = 0 . (Czytamy: zbiór liczb rzeczywistych takich, że x2 − 4 = 0 .)

Zbiór

{ 2n : n ∈ N }

oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych.

Przedziały liczbowe możemy zdeﬁniować następująco:

(a,b) = {x ∈ R : a < x < b} ⟨a,b⟩ = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b } (a,+ ∞ ) = {x ∈ R : a < x} itp.

Powyższą notację możemy w naturalny sposób rozszerzyć na przypadek większej liczby zmiennych.

Zbiór

2 R = {(x,y ) : x,y ∈ R }

jest zbiorem par (uporządkowanych) liczb rzeczywistych. Poprzez wybór układu współrzędnych możemy ten zbiór utożsamiać z płaszczyzną.

Zbiór

{(x,y) : y = 2x+ 1}

traktowany jako podzbiór płaszczyzny tworzy prostą. Zwykle ten zbiór deﬁniujemy krótko mówiąc: prosta y = 2x + 1 .

Zbiór

Rn = {(x1,x2,...,xn ) : x1,x2,...,xn ∈ R }

to zbiór wszystkich ciągów liczb rzeczywistych długości . Jest to matematyczna deﬁnicja przestrzeni wymiarowej.

Działania na zbiorach Zbiór utworzony ze wszystkich elementów zbiorów i nazywamy sumą zbiorów i i oznaczamy

C = A ∪ B .

Zbiór , który składa się z elementów należących jednocześnie do i do nazywamy częścią wspólną (lub przekrojem, lub też iloczynem) zbiorów i . Oznaczamy

D = A ∩ B.

Jeżeli A ∩ B = ∅ to mówimy, że zbiory i są rozłączne.

Zbiór składający się z elementów zbioru , które nie należą do nazywamy różnicą zbiorów i . Oznaczamy

E = A ∖B .

Jeżeli A = { 1,2,3,6,9} i B = {3,5 ,6,10} to

A ∪ B = { 1,2,3,5,6,9,10 } A ∩ B = {3,6 } A ∖ B = { 1,2,9} B ∖ A = {5,1 0}.

Jeżeli A = (− 5,1⟩ i B = ⟨− 3,3) to

A ∪ B = (− 5,3) A ∩ B = ⟨− 3,1⟩ A ∖ B = (− 5,3) B ∖ A = (1,3).

Jeżeli A ⊆ B to A ∖ B = ∅
Jeżeli A ∩ B = ∅ to A ∖B = A .

Bardzo wygodnym sposobem ilustracji zbiorów A ∩ B,A ∪ B ,A ∖ B,B ∖ A jest tzw. diagram Venna.
Diagram taki doskonale obrazuje wzajemne relacje między wymienionymi zbiorami i pozwala wymyślać różne przydatne wzorki, np.

A ∖B = A ∖ (A ∩ B ).

Kilka oczywistych wzorków.

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B )∪ C A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B)∩ C A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A A ∪ A = A A ∩ A = A A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ A ∖ ∅ = A ∅ ∖ A = ∅ A ∖ A = ∅ .

Dopełnienie i prawa de Morgana W pewnych sytuacjach zdarza się, że zbiory, którymi się zajmujemy są podzbiorami ustalonego zbioru (o zbiorze myślimy jak o przestrzeni, która zawiera wszystkie badane przez nas elementy). W takim kontekście deﬁniujemy dopełnienie zbioru (w zbiorze ) jako

′ A = U ∖ A.

Przedziały liczbowe w naturalny sposób traktujemy jako podzbiory U = R . Mamy zatem

′ (− 3,1⟩ = (− ∞ ,− 3⟩ ∪ (1,+ ∞ ) (− ∞ ,2)′ = ⟨2,+ ∞ ).

Podzbiory płaszczyzny w naturalny sposób traktujemy jako podzbiory płaszczyzny 2 U = R :) Zatem np.

2 2 2 ′ 2 2 2 {(x ,y) ∈ R : x + y < 9} = {(x,y ) ∈ R : x + y ≥ 9 }

Poniższy obrazek
przedstawia diagram Venna uzupełniony o przestrzeń . Diagram ten jest bezcennym źródłem ciekawych wzorków, np.

′ A ∖B = A ∩ B

Dopełnienie odgrywa szczególną rolę, gdy zajmujemy się zdarzeniami losowymi. Jeżeli jest zdarzeniem losowym, a jest zbiorem zdarzeń elementarnych to zbiór

′ A = Ω ∖ A

odpowiada zdarzeniu przeciwnemu do . W szczególności

P(A ′) = P(Ω ∖ A) = P(Ω )− P(A ) = 1 − P (A).

Kilka oczywistych wzorków.

A ∪ A ′ = U A ∩ A ′ = ∅ ∅ ′ = U U ′ = ∅ ′ ′ (A ) = A .

Używając diagramu Venna łatwo wykazać tzw. wzory (prawa) de Morgana.

′ ′ ′ (A ∪ B) = A ∩ B (A ∩ B)′ = A ′ ∪ B′.

Prawa de Morgana są ciekawe, bo pozwalają zamieniać (przy pomocy dopełnienia) sumę na iloczyn i odwrotnie.

Iloczyn kartezjański Dla dowolnych zbiorów i deﬁniujemy ich iloczyn kartezjański wzorem

X × Y = {(x,y ) : x ∈ X, y ∈ Y }.

Mówiąc bardziej po ludzku, iloczyn kartezjański X × Y jest zbiorem wszystkich par (uporządkowanych) postaci (x,y) , gdzie jest elementem zbioru , a elementem zbioru .

Jeżeli X = {a,b} i Y = {1 ,2,3} to

X × Y = {(a ,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} Y × X = {(1 ,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}.

Zauważmy, że o elementach zbioru X × Y możemy myśleć jak o elementach tabelki.

Analogicznie deﬁniujemy iloczyn kartezjański większej liczby zbiorów X 1,X 2,...,Xn

X 1 × X2 × ...× Xn = {(x1,x2,...,xn) : x 1 ∈ X 1,x2 ∈ X 2,...,xn ∈ Xn }.

W szczególności jeżeli X 1 = X 2 = ⋅⋅⋅Xn = X to oznaczamy

Xn = X × X × ⋅⋅ ⋅× X . ◟------◝ ◜------◞ n

Zbiór 2 R = R × R , czyli zbiór par liczb rzeczywistych utożsamiamy (poprzez wybór układu współrzędnych) z płaszczyzną.

Zbiór R 3 = R × R × R , czyli zbiór trójek liczb rzeczywistych utożsamiamy (poprzez wybór układu współrzędnych) z przestrzenią trójwymiarową.

O zbiorze n R myślimy (poprzez analogię z 2 R i 3 R ) jak o przestrzeni wymiarowej.

Jeżeli przez A = {1,2,3,4,5 ,6 } oznaczymy zbiór możliwych wyników przy jednokrotnym rzucie kostką, to zbiór możliwych wyników przy -krotnym rzucie kostką jest równy .

O zbiorze R × {1,2,3} myślimy jak o zbiorze trzech kopii umieszczonych na poziomach 1, 2, 3.
Jeżeli oznacza zbiór liczb całkowitych to zbiór Z × Z jest zbiorem punktów płaszczyzny, które mają obie współrzędne całkowite. Są to tzw. punkty kratowe.

Liczba elementów Jeżeli jest zbiorem skończonym, to symbolem

|A |

oznaczamy liczbę elementów zbioru .

Np.

|{1,1,2,3,3 ,3,4}| = 4 |{6n − 7 : n ∈ {1,2,...,100} }| = 100.

Patrząc na diagram Venna dla dwóch zbiorów skończonych i łatwo przekonać się o prawdziwości wzorów

|A ∪ B | = |A |+ |B |− |A ∩ B| |A ∖ B| = |A |− |A ∩ B |.

Jeżeli i są zbiorami skończonymi to

|X × Y| = |Y × X | = |X|⋅ |Y |

Tak jest, bo zbiór X × Y składa się z par, których pierwszy element może być wybrany na |X| , a drugi na |Y | sposobów.
Inny sposób myślenia o tym wzorze: zbiór X × Y możemy utożsamiać z tabelką, która ma |X | wierszy i kolumn.

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Bez treści/Oszacowania