Zadanie nr 5985367
Karol i Antek grają w rzutki. Karol trafia w środek tarczy z prawdopodobieństwem , a Antek z prawdopodobieństwem
. Rzucamy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba podzielna przez 3, to Karol dwa razy rzuca do tarczy. W przeciwnym wypadku Antek dwa razy rzuca do tarczy. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na tym, że w żadnym z tych dwóch wykonanych rzutów nie zostanie trafiony środek tarczy.
Rozwiązanie
Prawdopodobieństwo nietrafienia w środek tarczy dla Karola jest równe , a dla Antka jest równe
. Jeżeli
i
są zdarzeniami dwukrotnego nietrafienia w tarczę przez Karola i Antka odpowiednio, to
![2- 2- 4- P (B1) = 3 ⋅ 3 = 9 3 3 9 P (B2) = --⋅ --= --- 5 5 25](https://img.zadania.info/zad/5985367/HzadR4x.png)
(tak jest bo kolejne rzuty traktujemy jak niezależne od siebie – możemy też myśleć o schemacie Bernoulliego i prawdopodobieństwie dwóch sukcesów w dwóch próbach).
Jeżeli jest zdarzeniem polegającym na otrzymaniu liczby podzielnej przez 3 przy rzucie kostką, to
![2 1 P(A ) = --= -- 6 3 P(A ′) = 1 − 1-= 2. 3 3](https://img.zadania.info/zad/5985367/HzadR6x.png)
Jeżeli oznaczymy jeszcze przez interesujące nas zdarzenie dwóch nietrafionych rzutów, to musimy obliczyć prawdopodobieństwo całkowite
![P(B ) = P(B |A) ⋅P (A ) + P (B|A ′) ⋅P(A ′) = 1-P(B1) + 2-P(B 2) = 3 3 1- 4- 2- -9- 4-- -6- 26-2 = 3 ⋅9 + 3 ⋅25 = 27 + 2 5 = 67 5.](https://img.zadania.info/zad/5985367/HzadR8x.png)
Powyższy rachunek możemy ładnie zilustrować na drzewku.
Odpowiedź: