Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6245989

Z talii 52 kart w czterech kolorach wybieramy losowo 2 karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrane karty to król i as, przy założeniu, że wybrane karty mają różne kolory.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Dwie karty możemy wybrać z talii na

 ( 52) 52 ⋅51 |Ω | = = -------= 26⋅5 1 2 2

sposobów.

Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na wybraniu króla i asa, a przez B zdarzenie polegające na wybraniu kart w różnych kolorach. Musimy więc obliczyć

 P (A ∩ B ) P (A |B ) = ----------. P(B )

Ponieważ w talii są 4 króle i 4 asy, jest

4 ⋅3 = 12

zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A ∩ B (na 4 sposoby możemy wybrać króla i na 3 sposoby możemy wybrać asa w innym kolorze niż król).

Prawdopodobieństwo zdarzenia B obliczymy na kilka sposobów.

Sposób I

Jeżeli chcemy wybrać dwie karty w różnych kolorach, to najpierw wybieramy te dwa kolory – możemy to zrobić na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów. Potem wybieramy po jednej karcie w każdym z tych kolorów, co w sumie daje nam

6⋅13 ⋅13

różnych możliwości.

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

 P (A ∩ B ) -12- 2 2 P (A |B ) = ----------= -26⋅51- = -------= ----. P (B) 6⋅2163⋅⋅5113 13⋅1 3 1 69

Sposób II

Jeżeli chcemy wybrać dwie karty w różnych kolorach, to pierwszą kartę wybieramy dowolnie, a drugą wybieramy tak, aby nie była w tym samym kolorze – możemy to zrobić na

52⋅ (52− 13) = 52 ⋅39

sposobów. Ten rachunek jest jednak błędny, bo każdą parę kart policzyliśmy dwa razy – aby go poprawić musimy wynik podzielić przez 2. Jest więc

52-⋅39-= 26 ⋅39 2

możliwości wybrania dwóch kart w różnych kolorach.

Interesujące nas prawdopodobieństwo P (A|B ) obliczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.

Sposób III

Tym razem zamiast obliczyć liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B obliczymy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu przeciwnemu B′ , tzn. zdarzeniu, w którym wybraliśmy dwie karty w tym samym kolorze. Dwie karty w tym samym kolorze możemy wybrać na

 ( ) 13 1 3⋅12 4⋅ = 4 ⋅-------= 13 ⋅24 2 2

sposobów (na 4 sposoby wybieramy kolor i potem wybieramy 2 karty w tym kolorze). Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B jest więc

26⋅ 51− 13⋅ 24 = 13 ⋅102 − 13 ⋅24 = 1 3⋅78 = 13 ⋅13⋅ 6.

Interesujące nas prawdopodobieństwo P (A |B ) obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź: -2- 169

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!