/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Warunkowe i całkowite/Kostki

Zadanie nr 1971538

Rzucono kostką do gry trzy razy. Za pierwszym razem nie wyrzucono 4 oczek. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek w trzech rzutach jest równa 15.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli oznaczymy przez B zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym rzucie wyrzucono 4 oczka, a przez A zdarzenie polegające na tym, że suma oczek w trzech rzutach jest równa 15, to interesuje nas prawdopodobieństwo warunkowe

P (A ∩ B ′) P(A |B′) = -------′-- . P(B )

Rzucamy 3 razy kostką, więc

3 |Ω | = 6 ⋅6⋅ 6 = 6 .

Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B jest

6 ⋅6 = 6 2

(na pierwszej kostce musi być czwórka, a na pozostałych dowolne liczby), więc

3 2 P (B ′) = 1− P(B ) = 6--−-6- = 180. 63 6 3

Wypiszmy teraz zdarzenia sprzyjające zdarzeniu ′ A ∩ B :

(3,6,6),(6,3,6 ),(6 ,6,3) (5,4,6),(5,6,4 ),(6 ,4,5),(6,5,4) (5,5,5).

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

-8 63--= -8-- = -2-. 16830 18 0 4 5

Sposób II

Jeżeli wiemy, że na pierwszej kostce nie było czwórki, to za zdarzenia elementarne możemy przyjąć wszystkie wyniki rzutu trzema kostkami, w których na pierwszej kostce nie ma czwórki. Jest

|Ω | = 5⋅6 ⋅6 = 1 80

takich zdarzeń. Teraz tak samo jak w poprzednim sposobie ustalamy, że jest 8 możliwości otrzymania sumy oczek równej 15 (przy założeniu braku czwórki na pierwszej kostce):

(3,6,6),(6,3,6 ),(6 ,6,3) (5,4,6),(5,6,4 ),(6 ,4,5),(6,5,4) (5,5,5).

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

-8--= -2-. 180 45

 
Odpowiedź: 425

Wersja PDF