Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6603271

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej dwie „dwójki”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „piątkę”.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy uporządkowane czwórki wylosowanych oczek. Mamy więc

|Ω | = 6⋅6 ⋅6 ⋅6 = 64.

Niech A oznacza zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej dwóch dwójek, a B zdarzenie polegające na otrzymaniu co najmniej jednej piątki. Musimy obliczyć

 P (A ∩ B ) P (A |B ) = ----------. P(B )

Prawdopodobieństwo zdarzenia B łatwo obliczyć jeżeli przejdziemy do zdarzenia przeciwnego  ′ B . Zdarzenia sprzyjające  ′ B , to takie, w których na żadnej z kostek nie ma piątki. Jest więc 5 ⋅5 ⋅5⋅ 5 = 54 takich zdarzeń i

 ′ 54- 1296-−-6-25 6-71 P (B) = 1 − P (B ) = 1 − 64 = 6 4 = 64 .

Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A ∩ B (czyli otrzymaniu co najmniej dwóch dwójek i co najmniej jednej piątki) możemy podzielić na trzy typy:
– wylosowaliśmy 3 dwójki i 1 piątkę – są cztery takie zdarzenia (piątkę możemy otrzymać na jednej z czterech kostek);
– wylosowaliśmy 2 dwójki i 2 piątki – jest

(4 ) 4⋅ 3 = ---- = 6 2 2

takich zdarzeń (wybieramy miejsca dla dwójek, a na pozostałych umieszczamy piątki);
– wylosowaliśmy 2 dwójki, 1 piątkę i jedną liczbę różną od 2 i 5 – takich zdarzeń jest

( ) 4 2 ⋅2 ⋅4 = 6⋅2 ⋅4 = 4 8

(wybieramy dwa miejsca dla dwójek, miejsce dla piątki i jedną z czterech pozostałych liczb, którą umieszczamy na pozostałej kostce).
Mamy więc

P(A ∩ B) = 4-+-6-+-48-= 58- 6 4 64 P (A ∩ B ) 584 58 P (A |B) = ---------- = -6--= ----. P(B ) 67614- 671

 
Odpowiedź: -58 671

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!