W pudełku znajduje się n>2 sześciennych kostek do gry, przy czym... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Kostki, 8616202

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Warunkowe i całkowite/Kostki

Zadanie nr 8616202

W pudełku znajduje się $n > 2$ sześciennych kostek do gry, przy czym $k$ spośród tych kostek ( $k > 0$ i $k < n$ ) ma na dwóch ściankach jedno oczko, a na pozostałych czterech ściankach sześć oczek. Wybieramy losowo jedną z tych kostek i wykonujemy nią cztery kolejne rzuty. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana kostka miała jedno oczko na dwóch ściankach, jeżeli wiadomo, że w każdym z czterech wykonanych rzutów otrzymano ściankę z sześcioma oczkami.

Rozwiązanie

Prawdopodobieństwo wyrzucenia czterech kolejnych szóstek przy rzucie zwykłą kostką jest równe

n-−-k-⋅ 1-- n 64

(zwykłą kostkę możemy wybrać z prawdopodobieństwem $n−k -n--$ , a potem jest tylko jedno zdarzenie sprzyjające) Analogicznie, prawdopodobieństwo otrzymania czterech kolejnych szóstek przy rzucie zmodyﬁkowaną kostką jest równe

k 44 --⋅ -4- n 6

(zmodyﬁkowaną kostkę możemy wybrać na $k n$ sposobów, a potem prawdopodobieństwo otrzymania czterech szóstek jest równe $4 464$ – przy każdym rzucie wybieramy jedną z 4 ścianek z sześcioma oczkami).

Wśród wszystkich możliwych zdarzeń, w których wypadły cztery szóstki zdarzenia odpowiadające zmodyﬁkowanej kostce stanowią więc

k 44 4 -----n-⋅64------= -----4-⋅k------= ----256k-----= --256k---. k ⋅ 44+ n−k-⋅ 1 44 ⋅k + (n − k) 256k + n − k 255k + n n 64 n 64

Jeżeli chcemy zapisać powyższy rachunek przy pomocy prawdopodobieństwa warunkowego, to oznaczmy przez $A$ zdarzenie polegające na wybraniu zmodyﬁkowanej kostki, a przez $B$ zdarzenie polegające na wyrzuceniu 4 kolejnych szóstek. Przy tych oznaczeniach interesujące nas prawdopodobieństwo to prawdopodobieństwo warunkowe