Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8999576

Liczbę naturalną nazywamy palindromiczną, jeżeli nie zmienia się po zapisaniu jej cyfr w odwrotnej kolejności. Liczbami palindromicznymi są np. liczby 5, 33, 1123211. Liczby 10, 3230 nie są palindromiczne.

  • Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba siedmiocyfrowa jest liczbą palindromiczną.
  • Oblicz prawdopodobieństwo, że suma dwóch losowo wybranych liczb dwucyfrowych jest nieparzystą dwucyfrową liczbą palindromiczną.
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Liczby siedmiocyfrowe to
    10000 00,...,999999 9 = 1000 000+ 899999 9.

    Jest ich zatem 90000 00 .

    |Ω | = 9000 000 = 9 ⋅106.

    Można też było to wyliczyć: pierwszą cyfrę możemy wybrać na 9 sposobów (nie może być 0), a każdą kolejną na 10.

    Policzmy ile jest liczb palindromicznych. Pierwszą (a więc jednocześnie ostatnią) cyfrę możemy wybrać na 9 sposobów (nie może być to 0). Drugą, trzecią i czwartą możemy wybrać na 10 sposobów. Pozostałe cyfry są już jednoznacznie wyznaczone. Mamy zatem

     9⋅1 0⋅1 0⋅10 1 P = --------6----= ----- = 0,00 1. 9 ⋅10 100 0

     
    Odpowiedź: 0,001

  • Za zdarzenia elementarne przyjmijmy nieuporządkowane pary wylosowanych liczb. Ponieważ jest 90 liczb dwucyfrowych to
     ( ) |Ω | = 90 = 9-0⋅89-= 45 ⋅89 = 40 05. 2 2

    Wszystkie nieparzyste dwucyfrowe liczby palindromiczne to 11, 33, 55, 77, 99. Aby policzyć zdarzenia sprzyjające ustalmy, że a jest mniejszą z wylosowanych liczb (nie mogą być równe bo suma jest nieparzysta). Mamy następujące możliwości
    10 ≤ a ≤ 1 6 , wtedy drugą liczbę możemy dobrać na 4 sposoby: 99 − a,77 − a,55 − a,33 − a .
    17 ≤ a ≤ 2 7 , wtedy drugą liczbę możemy dobrać na 3 sposoby: 99 − a,77 − a,55 − a .
    28 ≤ a ≤ 3 8 , wtedy drugą liczbę możemy dobrać na 2 sposoby: 99 − a,77 − a .
    39 ≤ a ≤ 4 9 , wtedy drugą liczbę możemy dobrać na 1 sposób: 99 − a .
    Jest zatem

    7⋅ 4+ 11⋅3 + 1 1⋅2 + 11 ⋅1 = 9 4.

    zdarzeń sprzyjających. Stąd

     -9-4- P = 40 05.

     
    Odpowiedź:  94 4005

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!