Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9778331

Liczby ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8 } ustawiamy w przypadkowej kolejności (bez powtórzeń) tworząc liczbę ośmiocyfrową. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby, w której jednocześnie:
– cyfra 1 stoi na lewo od cyfry 2,
– cyfra 3 stoi na lewo od cyfry 4,
– cyfra 5 stoi na lewo od cyfry 6,
– cyfra 7 stoi na lewo od cyfry 8?
Uwaga, w powyższych warunkach nie zakładamy, że odpowiednie cyfry stoją obok siebie, np. liczba 13275846 spełnia wszystkie powyższe warunki.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Wszystkich permutacji danego zbioru jest

|Ω | = 8!.

Sposób I

Jak policzyć zdarzenia sprzyjające? – zauważmy, że każde zdarzenie sprzyjające jest jednoznacznie wyznaczone przez wskazanie dwóch miejsc, na których będą cyfry 1 i 2 (nie ma wątpliwości jak umieścić te cyfry na tych dwóch miejscach: 1 na lewo, 2 na prawo), dwóch miejsc, na których będą 3 i 4, oraz dwóch miejsc, na których będą 5 i 6 – w takiej sytuacji cyfry 7 i 8 umieszczamy na dwóch pozostałych miejscach bez żadnego wyboru. Jest więc

( ) ( ) ( ) 8 6 4 ⋅ ⋅ 2 2 2

zdarzeń sprzyjających (wybieramy dwa miejsca dla 1 i 2, potem dwa miejsca dla 3 i 4, a na koniec dwa miejsca dla 5 i 6). Obliczmy wartość tego wyrażenia.

( ) ( ) ( ) 8 ⋅ 6 ⋅ 4 = 8⋅-7⋅ 6⋅-5⋅ 4⋅-3 = 4 ⋅7⋅ 3⋅5 ⋅2 ⋅3. 2 2 2 2 2 2

Prawdopodobieństwo jest więc równe

 --4⋅-7⋅3-⋅5-⋅2⋅-3- -1-- -1- p = 2 ⋅3 ⋅4⋅ 5⋅6 ⋅7 ⋅8 = 2⋅8 = 16 .

Sposób II

Zauważmy, że wśród zdarzeń elementarnych jest dokładnie tyle samo liczb, w których 1 jest na lewo od 2, jak tych, w których 1 jest na prawo od 2. Tak jest, bo każdej liczbie z 1 na lewo od 2 odpowiada dokładnie jedna liczba z 1 na prawo od 2 – wystarczy zamienić 1 i 2 miejscami. Jest więc

1 -⋅ 8! 2

liczb z 1 na lewo od 2.

Analogicznie, wśród liczb z 1 na lewo od 2, dokładnie połowa liczb to liczby z 3 na lewo od 4 (tak jak poprzednio: każdej takiej liczbie odpowiada dokładnie jedna z 4 na lewo od 3). Jest więc

1-⋅ 1-⋅8! 2 2

liczb spełniających pierwsze dwa warunki.

Dokładnie z tego samego powodu jest

1-⋅ 1⋅ 1-⋅8! 2 2 2

liczb spełniających pierwsze trzy warunki, oraz

1-⋅ 1-⋅ 1-⋅ 1-⋅8 ! 2 2 2 2

liczb, które spełniają wszystkie cztery warunki. Prawdopodobieństwo jest więc równe

1 1 1 1 2-⋅2-⋅2-⋅2 ⋅-8!= -1-. 8! 16

Sposób III

W skrócie: podzielimy wszystkie liczby ośmiocyfrowe o różnych cyfrach na 16 równolicznych zbiorów, przy czym interesujące nas liczby będą stanowiły jeden z tych zbiorów. To będzie oznaczać, że szukane prawdopodobieństwo wynosi -1 16 .

Każdej liczbie ośmiocyfrowej o różnych cyfrach przyporządkowujemy czteroelementowy ciąg zer i jedynek według następującej reguły: jeżeli liczba spełnia pierwszy z warunków zadania to na pierwszym miejscu dajemy 1, a jeżeli nie to dajemy 0; na drugim miejscu dajemy 1 jeżeli jest spełniony drugi warunek z treści zadania itd. Np. liczba, której przyporządkowano ciąg (0,1,1 ,0) spełnia drugi i trzeci warunek, ale nie spełnia pierwszego i czwartego. Zauważmy teraz, że interesujące nas liczby to liczby, którym przyporządkowano ciąg (1,1,1,1) .

Wszystkich ciągów czteroelementowych o wyrazach 0 i 1 jest 24 = 16 , więc podzieliliśmy w ten sposób wszystkie liczby ośmiocyfrowe na 16 zbiorów. Wystarczy teraz pokazać, że każde dwa z tych zbiorów mają tyle samo elementów.

Zauważmy, że jeżeli we wszystkich liczbach odpowiadających ciągowi (0,0,0 ,0) zamienimy miejscami cyfry 1 i 2 to otrzymamy wszystkie liczby odpowiadające ciągowi (1,0,0,0) . Te dwa zbiory mają więc tyle samo elementów. Dokładnie w ten sam sposób uzasadniamy, że jeżeli dwa ciągi (a1,a2,a3,a4) i (b1,b2,b3,b4) różnią się tylko w jednym miejscu to odpowiadające im zbiory liczb mają tyle samo elementów. Teraz wystarczy zauważyć, że zmieniając w jednym kroku tylko jedną liczbę można przejść od dowolnego ciągu do każdego innego. To oznacza, że każdy z 16 zbiorów ma tyle samo elementów, więc liczby odpowiadające ciągowi (1,1,1 ,1) stanowią -1 16 ogółu wszystkich liczb ośmiocyfrowych o różnych cyfrach.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!