Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5615556

Ze zbioru liczb {1,2 ...,6n + 1} , n ≥ 1 losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Niech An  oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6. Oblicz granicę  lim P(An ) n→+ ∞ .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jest

 ( ) 2 |Ω | = 6n + 1 = (6n-+-1)-⋅6n-⋅(6n-−-1)-= 6n-(36n--−-1). 3 3! 6

zdarzeń elementarnych.

Zauważmy jeszcze, że wśród podanych liczb jest n liczb podzielnych przez 6:

6 = 6 ⋅1, 12 = 6 ⋅2, ...,6n = 6 ⋅n

Jest 3n liczb parzystych

2 = 2 ⋅1, 4 = 2⋅ 2, ...,6n = 2⋅ 3n

oraz 2n liczb podzielnych przez 3:

3 = 3⋅ 1, 6 = 3⋅2, ...,6n = 3⋅2n .

Łatwo też na podstawie powyższej obserwacji ustalić, że w danym zbiorze jest

3n − n = 2n

liczb parzystych, które nie dzielą się przez 3 (bo jak dzielą się przez 2 i 3, to dzielą się przez 6). Analogicznie, jest

2n − n = n

liczb podzielnych przez 3, które nie dzielą się przez 2. Pozostałe

6n + 1 − 2n − n− n = 2n + 1

liczby nie dzielą się ani przez 2, ani przez 3 (ze zbioru wszystkich liczb wyrzucamy te, które dzielą się przez 6, te które dzielą się przez 2, ale nie przez 3, i w końcu te które dzielą się przez 3, ale nie dzielą się przez 2).

Sposób I

Jeżeli chwilę zastanowimy się nad treścią zadania, to powinno być jasne, że jest bardzo dużo zdarzeń sprzyjających, więc spróbujmy zastanowić się nad zdarzeniem przeciwnym do An , czyli takim, w którym iloczyn otrzymanych liczb nie dzieli się przez 6.

Układów, w których nie ma liczby podzielnej przez 3 jest

( ) ( ) (6n + 1)− 2n 4n + 1 (4n-+-1-)⋅4n-⋅(4n-−-1-) 4n-(16n2-−-1) 3 = 3 = 3 ! = 6

Układów, w których nie ma liczby parzystej jest

( ) ( ) 2 (6n+ 1)− 3n = 3n + 1 = (3n-+--1)⋅3n-⋅(3n-−--1) = 3n-(9n--−-1) . 3 3 3! 6

W tym miejscu łatwo popełnić błąd – zauważmy, że w powyższym rachunku układy, w których nie ma ani liczby podzielnej przez 3, ani przez 2 policzyliśmy podwójnie. Takich układów jest

( ) 2 2n + 1 (2n-+--1)⋅2n-⋅(2n-−--1) 2n-(4n--−-1) 3 = 3! = 6 .

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

 4n(16n2−-1)-+ 3n(9n2−1)− 2n(4n2−-1)- P (An) = 1− ----6-----------62----------6----= 6n(36n6-−1)- 2 2 2 2 = 1− 64n--−-4-+-27n--−-3-−-8n--+--2 = 1 − -83n--−-5-. 216n 2 − 6 2 16n2 − 6

Liczymy granicę z tego wyrażenia

 ( 2 ) ( 5- ) lim 1− 8-3n-−--5- = 1− lim 8-3−--n2- = 1− 83--= 133. n→ +∞ 216n 2 − 6 n→+ ∞ 216 − -62 216 216 n

Sposób II

Tym razem spróbujmy obliczyć liczbę zdarzeń sprzyjających wprost – bez patrzenia na zdarzenie przeciwne.

Zdarzeń, w których jest przynajmniej jedna liczba podzielna przez 6 jest

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 5n+ 1 n 5n + 1 Bn : 3 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = = n(n-−-1-)(n−--2) + n(n-−--1)(5n-+-1) + n-(5n+--1)⋅-5n = 6 2 2 (n2 − n)(n − 2)+ 3 (n2 − n)(5n + 1) + 15n 2(5n + 1) = ----------------------------------------------------- 6

(mogą być trzy, dwie albo jedna liczba podzielna przez 6).

Jeżeli nie ma liczby podzielnej przez 6, to musi być przynajmniej jedna parzysta i jedna podzielna przez 3. Znowu jest kilka możliwości – żeby się nie pogubić najlepiej myśleć o trzeciej liczbie – może być parzysta, może być podzielna przez 3, albo może być względnie pierwsza z 6. Jest więc

 ( 2n) (n ) ( 2n) (n ) ( 2n) (n ) ( 2n + 1) Cn : ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = 2 1 1 2 1 1 1 2n (2n − 1)n 2n ⋅n(n − 1) = ------2------+ ------2------+ 2n ⋅ n⋅(2n + 1) 2 2 2 = n (2n − 1)+ n (n − 1) + 2n (2n + 1).

Pozostało obliczyć interesującą nas granicę.

 (n2−n-)(n−-2)+-3(n2−n)(5n+1)+15n2(5n+-1)- lim P(Bn ) = lim -----------------6-----------------= n→ +∞ n→ +∞ 6n(36n2−-1) 2 6 2 2 = lim (n--−--n)(n-−-2)-+-3(n--−-n)(5n-+--1)+--15n-(5n-+-1-)= n→ +∞ 6n (3 6n2 − 1) 1 + 15 + 7 5 91 = ------------ = ---- 21 6 21 6
 n2(2n-−-1-)+-n-2(n−--1)+--2n2(2n-+-1-) nl→im+∞ P (Cn) = nli→m+ ∞ 6n(36n2−-1) = 6 6n2(2n − 1)+ 6n2(n − 1) + 12n 2(2n+ 1) = nli→m+ ∞ ---------------------2------------------- = 6n(3 6n − 1) 12-+-6+--24- 42-- = 216 = 216.

Stąd

 lim P(A ) = lim P(B )+ lim P(C ) = -91-+ 42--= 133-. n→ +∞ n n→+ ∞ n n→ + ∞ n 216 216 216

 
Odpowiedź: 133 216

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!