Zadanie nr 5615556

Ze zbioru liczb {1,2 ...,6n + 1} , n ≥ 1 losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6. Oblicz granicę lim P(An ) n→+ ∞ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jest

( ) 2 |Ω | = 6n + 1 = (6n-+-1)-⋅6n-⋅(6n-−-1)-= 6n-(36n--−-1). 3 3! 6

zdarzeń elementarnych.

Zauważmy jeszcze, że wśród podanych liczb jest liczb podzielnych przez 6:

6 = 6 ⋅1, 12 = 6 ⋅2, ...,6n = 6 ⋅n

Jest liczb parzystych

2 = 2 ⋅1, 4 = 2⋅ 2, ...,6n = 2⋅ 3n

oraz liczb podzielnych przez 3:

3 = 3⋅ 1, 6 = 3⋅2, ...,6n = 3⋅2n .

Łatwo też na podstawie powyższej obserwacji ustalić, że w danym zbiorze jest

3n − n = 2n

liczb parzystych, które nie dzielą się przez 3 (bo jak dzielą się przez 2 i 3, to dzielą się przez 6). Analogicznie, jest

2n − n = n

liczb podzielnych przez 3, które nie dzielą się przez 2. Pozostałe

6n + 1 − 2n − n− n = 2n + 1

liczby nie dzielą się ani przez 2, ani przez 3 (ze zbioru wszystkich liczb wyrzucamy te, które dzielą się przez 6, te które dzielą się przez 2, ale nie przez 3, i w końcu te które dzielą się przez 3, ale nie dzielą się przez 2).

Sposób I

Jeżeli chwilę zastanowimy się nad treścią zadania, to powinno być jasne, że jest bardzo dużo zdarzeń sprzyjających, więc spróbujmy zastanowić się nad zdarzeniem przeciwnym do , czyli takim, w którym iloczyn otrzymanych liczb nie dzieli się przez 6.

Układów, w których nie ma liczby podzielnej przez 3 jest

( ) ( ) (6n + 1)− 2n 4n + 1 (4n-+-1-)⋅4n-⋅(4n-−-1-) 4n-(16n2-−-1) 3 = 3 = 3 ! = 6

Układów, w których nie ma liczby parzystej jest

( ) ( ) 2 (6n+ 1)− 3n = 3n + 1 = (3n-+--1)⋅3n-⋅(3n-−--1) = 3n-(9n--−-1) . 3 3 3! 6

W tym miejscu łatwo popełnić błąd – zauważmy, że w powyższym rachunku układy, w których nie ma ani liczby podzielnej przez 3, ani przez 2 policzyliśmy podwójnie. Takich układów jest

( ) 2 2n + 1 (2n-+--1)⋅2n-⋅(2n-−--1) 2n-(4n--−-1) 3 = 3! = 6 .

Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

4n(16n2−-1)-+ 3n(9n2−1)− 2n(4n2−-1)- P (An) = 1− ----6-----------62----------6----= 6n(36n6-−1)- 2 2 2 2 = 1− 64n--−-4-+-27n--−-3-−-8n--+--2 = 1 − -83n--−-5-. 216n 2 − 6 2 16n2 − 6

Liczymy granicę z tego wyrażenia

( 2 ) ( 5- ) lim 1− 8-3n-−--5- = 1− lim 8-3−--n2- = 1− 83--= 133. n→ +∞ 216n 2 − 6 n→+ ∞ 216 − -62 216 216 n

Sposób II

Tym razem spróbujmy obliczyć liczbę zdarzeń sprzyjających wprost – bez patrzenia na zdarzenie przeciwne.

Zdarzeń, w których jest przynajmniej jedna liczba podzielna przez 6 jest

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 5n+ 1 n 5n + 1 Bn : 3 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = = n(n-−-1-)(n−--2) + n(n-−--1)(5n-+-1) + n-(5n+--1)⋅-5n = 6 2 2 (n2 − n)(n − 2)+ 3 (n2 − n)(5n + 1) + 15n 2(5n + 1) = ----------------------------------------------------- 6

(mogą być trzy, dwie albo jedna liczba podzielna przez 6).

Jeżeli nie ma liczby podzielnej przez 6, to musi być przynajmniej jedna parzysta i jedna podzielna przez 3. Znowu jest kilka możliwości – żeby się nie pogubić najlepiej myśleć o trzeciej liczbie – może być parzysta, może być podzielna przez 3, albo może być względnie pierwsza z 6. Jest więc