/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Zbiory liczb/Podzielność

Zadanie nr 6156025

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez 9 lub liczbę podzielną przez 12.

Rozwiązanie

Liczb dwucyfrowych jest 99 − 9 = 90 , więc

|Ω | = 90.

Sposób I

Liczby dwucyfrowe podzielne przez 9 to:

18,27,3 6,45,54,63,7 2,81,90,99.

Jak widać jest ich 10.

Liczby dwucyfrowe podzielne przez 12 to:

12,2 4,36,48,60,7 2,84,96.

Jest ich 8, ale 2 z nich występują na poprzedniej licie. Prawdopodobieństwo jest więc równe

10+--6-= 16-= -8-. 90 90 4 5

Sposób II

Liczby podzielne przez 9 to liczby

1 8 = 2⋅ 9, 27 = 3⋅9 , 36 = 4⋅9 ,... ,9 9 = 11 ⋅8.

Jest ich zatem 10. Podobnie liczymy liczbę liczb podzielnych przez 12

12 = 1 ⋅12, 24 = 2 ⋅12, 36 = 3 ⋅12,...,96 = 8⋅1 2.

Jest ich 8.

Doszliśmy teraz do delikatnego momentu, jeżeli dodamy do siebie wyliczone liczby, to nie będzie to liczba liczb podzielnych przez 9 lub 12. Powód jest prosty: liczby które są podzielne jednocześnie przez 9 i 12 (czyli przez 36) policzyliśmy podwójnie. Musimy zatem od tej sumy odjąć liczbę liczb podzielnych przez 36. Są 2 takie liczby:

36,72.

Możemy już obliczyć szukane prawdopodobieństwo

10 + 8 − 2 16 8 P (A ) = ----90-----= 90-= 45.

 
Odpowiedź: -8 45

Wersja PDF