Zadanie nr 7299956

Ze zbioru wszystkich liczb trzycyfrowych, które są podzielne przez 7 wybieramy losowo 5 różnych liczb. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że jedną z tych liczb jest 546, a wśród pozostałych 4 liczb jest dokładnie jedna liczba mniejsza od 546. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Rozwiązanie

Zacznijmy od ustalenia ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7. Liczby te to

1 05 = 7 ⋅15, 112 = 7 ⋅16,...,994 = 7⋅ 142.

Liczb tych jest więc tyle, ile liczb od 15 do 142, a tych liczb z kolei jest tyle samo, co liczb od 15 − 14 = 1 do 142 − 14 = 1 28 , czyli 128.

Liczbę liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7 mogliśmy też wyliczyć ze wzoru na -ty wyraz ciągu arytmetycznego. Dla urozmaicenia policzymy w ten sposób ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7 i mniejszych od 546. Liczby te są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 7:

a1 = 105, a2 = 112,...,an = 539.

Ze wzoru na -ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

an = a1 + (n − 1)r 539 = 105 + (n − 1 )⋅7 7(n− 1) = 434 n− 1 = 62 n = 63.

Wiemy zatem, że jest 128 liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7, z czego 63 są mniejsze od 546, a 128 − 6 3− 1 = 64 z nich jest większa od 546.

Za zdarzenia elementarne przyjmijmy 5-elementowe zbiory wylosowanych liczb. Zatem

( ) 128 1-28⋅1-27⋅1-26⋅1-25⋅-124 |Ω | = 5 = 5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 = = 12-8⋅12-7⋅2-1⋅12-5⋅12-4 = 1-28⋅1-27⋅2-1⋅25-⋅12-4 = 5⋅4 4 = 128 ⋅127 ⋅21 ⋅25 ⋅31.

Liczymy teraz liczbę zdarzeń sprzyjających. Wiemy, że jedną z wylosowanych liczb ma być 546 - tu nie mamy żadnego wyboru. Wiemy też, że jedna z liczb musi być mniejsza od 546 – możemy ją wybrać na 63 sposoby. Pozostałe 3 liczby musimy wybrać ze zbioru liczb większych od 546 – możemy to zrobić na