/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Z definicji/Zbiory liczb/Podzielność

Zadanie nr 8960555

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ze zbioru liczb {1,2,4,8 ,16,32,64,12 8,256} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Każdą z liczb możemy wybrać na 9 sposobów, więc

|Ω | = 9 ⋅9 = 81 .

Zauważmy teraz, że są trzy rodzaje zdarzeń elementarnych (a,b ) : takie, w których a = b , takie w których a < b i wreszcie takie, w których a > b . Zdarzeń pierwszego typu jest 9:

(1,1),(2,2),...,(256,25 6).

Zdarzeń drugiego rodzaju jest dokładnie tyle samo, co zdarzeń trzeciego rodzaju (bo każdej parze (a,b) , w której a < b odpowiada dokładnie jedna para trzeciego rodzaju: (b,a) ). Jest więc 81− 9 -2---= 36 par każdego z tych dwóch rodzajów.

Zauważmy teraz, że dane liczby to kolejne potęgi dwójki

{ 1,2,4,8,16,32 ,6 4,128,256 } = {1,2,2 2,2 3,2 4,25,26,27,28},

więc wylosowana para (a ,b) spełnia warunki zadania (czyli a dzieli się przez b ) wtedy i tylko wtedy, gdy a ≥ b . Jak już wiemy, jest

9 + 36 = 45

takich par i interesujące nas prawdopodobieństwo wynosi

45-= 5. 81 9

 
Odpowiedź: 59

Wersja PDF