Zadanie nr 9244632

Ze zbioru {1,2,3,...,102} losujemy 2 różne liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3?

Rozwiązanie

Ustalmy, że zdarzenia sprzyjające to nieuporządkowane pary wylosowanych liczb. Zatem

( ) |Ω | = 102 = 102⋅-101-= 5 1⋅10 1. 2 2

W podanym przedziale mamy następujące liczby podzielne przez

3 = 1 ⋅3, 6 = 2 ⋅3, ...,102 = 34 ⋅3.

Jest ich zatem 34. Podobnie liczymy liczby, których reszty z dzielenia przez 3 wynoszą 1 i 2 odpowiednio.

1 = 1+ 0 ⋅3, 4 = 1 + 1 ⋅3, ...,100 = 1 + 33 ⋅3 2 = 2+ 0 ⋅3, 5 = 2 + 1 ⋅3, ...,101 = 2 + 33 ⋅3.

Jednych i drugich jest więc .

Jeżeli suma wylosowanych liczb ma dzielić się przez 3, to albo obie są podzielne przez 3 – mamy na to

( ) 34 3-4⋅33- 2 = 2 = 17 ⋅33,

lub jedna daje resztę 1, a druga 2 – mamy na to

34 ⋅34 = 4⋅1 72

możliwości. Stąd

2 P = 1-7⋅33-+-4-⋅17- = 33-+-4-⋅17-= -101---= 1. 51 ⋅101 3 ⋅101 3⋅1 01 3

Odpowiedź: