Zadanie nr 1220479
W zbiorze , gdzie
jest liczbą naturalną, zmieniono znaki na przeciwne trzem losowo wybranym liczbom. Wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że suma wszystkich liczb w zbiorze nie uległa zmianie wynosi
. Wyznacz
.
Rozwiązanie
Policzmy ile jest liczb w danym zbiorze. Ponieważ
![1 = 2⋅1 − 1 , 3 = 2 ⋅2 − 1,...,2n − 1](https://img.zadania.info/zad/1220479/HzadR0x.gif)
tych liczb jest . W całym zbiorze jest więc
liczb. Zatem możliwości wybrania trzech z nich jest
![( ) |Ω | = 2n + 1 = (2n-+-1)(2n-)(2n-−-1)-= n(2n-+-1-)(2n−--1). 3 6 3](https://img.zadania.info/zad/1220479/HzadR3x.gif)
Jeżeli i
są liczbami, przy których zmieniono znaki, to suma wszystkich liczb się nie zmieni tylko wtedy gdy
(bo
jest kawałkiem tej sumy i zmienia znak na przeciwny). Jest jednak mały problem, w danym zbiorze jest tylko jedna liczba parzysta, a w równości
nie mogą wszystkie trzy liczby być nieparzyste. Zatem jedna z tych liczb, powiedzmy
jest równa 0. Mamy w takim razie równość
. Ile jest takich par? – to łatwe, tyle ile jest liczb dodatnich w danym zbiorze, czyli
. Mamy zatem równanie
![------n------ = -1-- n(2n+1)(2n−-1) 16 1 3 --------3-------- = --1- (2n + 1)(2n − 1) 1 61 2 483 = 4n − 1 n2 = 12 1 ⇒ n = 11 .](https://img.zadania.info/zad/1220479/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: