Ze zbioru wszystkich trójwyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 4968127

Zadanie nr 4968127

Ze zbioru wszystkich trójwyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru ${1 ,2,3,...,n}$ losujemy jeden ciąg.

Rozwiązanie

Wszystkich ciągów trójwyrazowych o wyrazach ze zbioru ${ 1,2,3,...,n}$ jest $n 3$ (każdy z wyrazów możemy wybrać na $n$ sposobów). Zatem

|Ω | = n3.

Jeżeli ciąg ma być rosnący lub malejący, to wszystkie wyrazy muszą być różne. Możliwości wyboru 3 różnych liczb ze zbioru ${1,2,3,...,n }$ jest $(n ) n (n− 1)(n − 2) = ----------------. 3 6$
Tak wybrane liczby można ustawić w ciąg rosnący na dokładnie jeden sposób i w ciąg malejący na jeden sposób. Zdarzeń sprzyjających jest więc
$2 ⋅ n(n-−-1-)(n−-2) = n-(n-−-1)(n-−-2). 6 3$
Stąd
$n(n−1)(n−2) P = -----3----- = (n−--1)(n-−-2). n 3 3n 2$

Odpowiedź: $(n−1)⋅(n−-2)- 3n2$
Musimy rozwiązać równanie $(n-−-1)-⋅(n-−-2)-= 0,125 3n 2 3n2 (n − 1)(n − 2) = ---- 8 8n2 − 24n + 16 = 3n 2 2 5n − 24n + 16 = 0.$
Dalej,
$2 Δ = 576− 320 = 2 56 = 16$
i jedyny naturalny pierwiastek to $n = 24+1106 = 4$ .
Odpowiedź: $n = 4$