Zadanie nr 5249450

Ze zbioru liczb {1,2,3,4 ,5,6,7,8,9,10,11 ,1 2,13} losujemy bez zwracania 4 liczby. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 4 otrzymanych liczb jest dokładnie jedna para liczb o sumie równej 14.

Rozwiązanie

Wszystkich zdarzeń elementarnych jest

( 13) 13 ⋅12 ⋅11 ⋅10 13 ⋅12 ⋅11⋅ 10 = -------------- = -------------- = 13 ⋅11 ⋅5. 4 4 ! 2⋅3 ⋅4

Wypiszmy wszystkie pary liczb, które w sumie dają 14.

(1 ,1 3),(2,12),(3,11),(4,1 0),(5,9),(6,8).

Jest jeszcze liczba 7, która nie ma pary (bo losujemy bez zwracania).

Sposób I

O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze dwie liczby tak, aby nie były z jednej pary.

Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Po wybraniu tej pary pozostaje 13 − 2 = 11 liczb i z nich musimy wybrać jeszcze dwie. Dwie pozostałe liczby możemy wybrać na

( 11) 11⋅ 10 = -------= 55 2 2

sposobów. Od tych 55 możliwych par musimy jednak odjąć 5 par, w których suma jest równa 14. W sumie 3 i 4 liczbę możemy więc wybrać na 55 − 5 = 5 0 sposobów. Jest więc

6 ⋅50

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe

--6⋅5-0-- = -6⋅-10-= -60-. 13 ⋅11⋅ 5 13 ⋅11 143

Sposób II

O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze dwie liczby tak, aby nie były z jednej pary.

Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Gdy para ta jest ustalona to możliwe są dwie sytuacje: albo jedną z pozostałych liczb jest 7, albo nie. Jeżeli jest 7 wśród wylosowanych liczb to czwarta liczba może być którąkolwiek z pozostałych 13 − 2 − 1 = 10 liczb. Jest więc

6⋅1 0 = 60

zdarzeń tego typu.

Jeżeli natomiast wśród wylosowanych liczb nie ma 7, to pozostałe dwie liczby wybieramy spośród 5 par tak, aby dwie liczby nie były z jednej pary. W takim razie trzecią liczbę wybieramy dowolnie spośród 13 − 2− 1 = 10 liczb (odejmujemy wybraną na początku parę i 7), a czwartą liczbę wybieramy spośród 13 − 2 − 1 − 2 = 8 liczb (odejmujemy pierwszą parę, 7-kę, oraz parę trzeciej liczby). Teraz bardzo łatwo popełnić błąd – zauważmy, że przy takim sposobie liczenia, np. czwórkę { 1,13,2,3} policzyliśmy dwukrotnie: jako (1,13,2 ,3 ) i (1,13,3,2) ! W takim razie zdarzeń bez 7-ki jest

6⋅1-0⋅8-= 60 ⋅4. 2

Zdarzenia bez 7-ki mogliśmy też policzyć inaczej: parę z sumą równą 14 możemy wybrać na 6 sposobów, potem wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić dwie pozostałe liczby – możemy to zrobić na

( 5) 5 ⋅4 = ---- = 1 0 2 2

sposobów. Na koniec musimy jeszcze uwzględnić, że w każdej z tych dwóch ostatnich par mamy możliwość wyboru jednej z dwóch liczb. Daje to w sumie

6 ⋅10 ⋅2 ⋅2 = 60 ⋅4.

możliwości.

Prawdopodobieństwo jest więc równe

60-+-60-⋅4- --60-⋅5-- --6-0-- -60- p = 13⋅ 11⋅ 5 = 13 ⋅11 ⋅5 = 1 3⋅1 1 = 14 3.

Sposób III

Tym razem, zamiast obliczać prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia , obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A ′ . Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających zdarzeniu ′ A : albo nie ma żadnej pary z sumą równą 14, albo takie pary są dwie.

Łatwo obliczyć liczbę zdarzeń z dwoma parami z sumą równą 14 – jest ich tyle, ile możliwości wybrania 2 par spośród 6 par wypisanych powyżej. Jest więc

( ) 6 6 ⋅5 = ---- = 1 5 2 2

zdarzeń tego typu.

Jeżeli natomiast nie ma żadnej pary liczb z sumą równą 14, to każda z liczb musi pochodzić z innej z wypisanych par, lub może być też 7-ką.

Jeżeli wśród wybranych liczb jest 7, to aby wybrać pozostałe trzy liczby wybieramy 3 pary, z których będą pochodzić, możemy to zrobić na

( ) 6 = 6⋅-5⋅4-= 20 3 3!

sposobów. Ponadto w każdej z 3 wybranych par możemy wybrać jedną z dwóch liczb jest więc

20⋅2 ⋅2 ⋅2 = 20 ⋅8

takich par.

Jeżeli wreszcie wśród wybranych liczb nie ma 7-ki, to liczby pochodzą z 4 różnych par, co możemy wybrać na

( ) 6 6-⋅5-⋅4-⋅3 4 = 4! = 15

sposobów. W każdej parze mamy możliwość wyboru jednej z 2 liczb. Jest więc

15⋅ 2⋅2 ⋅2 ⋅2 = 15 ⋅16

takich zdarzeń.

Prawdopodobieństwo jest więc równe.

15 + 20 ⋅8+ 15 ⋅16 P (A ) = 1− P(A ′) = 1− --------------------= 13 ⋅11 ⋅5 = 1− 3+--4⋅-8+-3-⋅16-= 1− -83-= -60-. 13⋅1 1 143 143

Sposób IV

Tym razem będziemy uwzględniać kolejność w jakiej losowane są liczby, czyli za zdarzenia elementarne przyjmiemy czwórki (a,b,c,d ) wylosowanych liczb. Mamy zatem

|Ω | = 13 ⋅12 ⋅11⋅ 10.

Liczymy ile jest zdarzeń sprzyjających.

Najpierw zdarzenia w których jest 7. Do tej siódemki musimy dobrać parę liczb z sumą równą 14 – możemy to zrobić na 6 sposobów, a potem jeszcze jedną dowolną liczbę spośród pozostałych 10 liczb. Na koniec musimy ustalić kolejność wybranych liczb, co możemy zrobić na sposobów. W sumie jest więc

6 ⋅10 ⋅4! = 60⋅ 24

takich zdarzeń.

Teraz policzmy ile jest zdarzeń bez 7-ki. Musimy wybrać dwie liczby z sumą równą 14 – możemy to zrobić na 6 sposobów, potem musimy jeszcze dobrać dwie liczby, których suma nie jest równa 14. Łatwo tu popełnić błąd, nie możemy liczyć tak: wybieramy liczbę spośród pozostałych 10, a potem ostatnią liczbę możemy wybrać na 8 sposobów – przy takim sposobie liczenia każdą parę liczymy podwójnie.

W takim razie liczmy ostrożniej, aby wybrać dwie liczby, których suma nie jest równa 14, wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić te liczby – możemy to zrobić na