Zadanie nr 5249450
Ze zbioru liczb losujemy bez zwracania 4 liczby. Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 4 otrzymanych liczb jest dokładnie jedna para liczb o sumie równej 14.
Rozwiązanie
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest
![( 13) 13 ⋅12 ⋅11 ⋅10 13 ⋅12 ⋅11⋅ 10 = -------------- = -------------- = 13 ⋅11 ⋅5. 4 4 ! 2⋅3 ⋅4](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR0x.gif)
Wypiszmy wszystkie pary liczb, które w sumie dają 14.
![(1 ,1 3),(2,12),(3,11),(4,1 0),(5,9),(6,8).](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR1x.gif)
Jest jeszcze liczba 7, która nie ma pary (bo losujemy bez zwracania).
Sposób I
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze dwie liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Po wybraniu tej pary pozostaje liczb i z nich musimy wybrać jeszcze dwie. Dwie pozostałe liczby możemy wybrać na
![( 11) 11⋅ 10 = -------= 55 2 2](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR3x.gif)
sposobów. Od tych 55 możliwych par musimy jednak odjąć 5 par, w których suma jest równa 14. W sumie 3 i 4 liczbę możemy więc wybrać na sposobów. Jest więc
![6 ⋅50](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR5x.gif)
zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe
![--6⋅5-0-- = -6⋅-10-= -60-. 13 ⋅11⋅ 5 13 ⋅11 143](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR6x.gif)
Sposób II
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze dwie liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Gdy para ta jest ustalona to możliwe są dwie sytuacje: albo jedną z pozostałych liczb jest 7, albo nie. Jeżeli jest 7 wśród wylosowanych liczb to czwarta liczba może być którąkolwiek z pozostałych liczb. Jest więc
![6⋅1 0 = 60](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR8x.gif)
zdarzeń tego typu.
Jeżeli natomiast wśród wylosowanych liczb nie ma 7, to pozostałe dwie liczby wybieramy spośród 5 par tak, aby dwie liczby nie były z jednej pary. W takim razie trzecią liczbę wybieramy dowolnie spośród liczb (odejmujemy wybraną na początku parę i 7), a czwartą liczbę wybieramy spośród
liczb (odejmujemy pierwszą parę, 7-kę, oraz parę trzeciej liczby). Teraz bardzo łatwo popełnić błąd – zauważmy, że przy takim sposobie liczenia, np. czwórkę
policzyliśmy dwukrotnie: jako
i
! W takim razie zdarzeń bez 7-ki jest
![6⋅1-0⋅8-= 60 ⋅4. 2](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR14x.gif)
Zdarzenia bez 7-ki mogliśmy też policzyć inaczej: parę z sumą równą 14 możemy wybrać na 6 sposobów, potem wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić dwie pozostałe liczby – możemy to zrobić na
![( 5) 5 ⋅4 = ---- = 1 0 2 2](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR15x.gif)
sposobów. Na koniec musimy jeszcze uwzględnić, że w każdej z tych dwóch ostatnich par mamy możliwość wyboru jednej z dwóch liczb. Daje to w sumie
![6 ⋅10 ⋅2 ⋅2 = 60 ⋅4.](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR16x.gif)
możliwości.
Prawdopodobieństwo jest więc równe
![60-+-60-⋅4- --60-⋅5-- --6-0-- -60- p = 13⋅ 11⋅ 5 = 13 ⋅11 ⋅5 = 1 3⋅1 1 = 14 3.](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR17x.gif)
Sposób III
Tym razem, zamiast obliczać prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia , obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
. Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających zdarzeniu
: albo nie ma żadnej pary z sumą równą 14, albo takie pary są dwie.
Łatwo obliczyć liczbę zdarzeń z dwoma parami z sumą równą 14 – jest ich tyle, ile możliwości wybrania 2 par spośród 6 par wypisanych powyżej. Jest więc
![( ) 6 6 ⋅5 = ---- = 1 5 2 2](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR21x.gif)
zdarzeń tego typu.
Jeżeli natomiast nie ma żadnej pary liczb z sumą równą 14, to każda z liczb musi pochodzić z innej z wypisanych par, lub może być też 7-ką.
Jeżeli wśród wybranych liczb jest 7, to aby wybrać pozostałe trzy liczby wybieramy 3 pary, z których będą pochodzić, możemy to zrobić na
![( ) 6 = 6⋅-5⋅4-= 20 3 3!](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR22x.gif)
sposobów. Ponadto w każdej z 3 wybranych par możemy wybrać jedną z dwóch liczb jest więc
![20⋅2 ⋅2 ⋅2 = 20 ⋅8](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR23x.gif)
takich par.
Jeżeli wreszcie wśród wybranych liczb nie ma 7-ki, to liczby pochodzą z 4 różnych par, co możemy wybrać na
![( ) 6 6-⋅5-⋅4-⋅3 4 = 4! = 15](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR24x.gif)
sposobów. W każdej parze mamy możliwość wyboru jednej z 2 liczb. Jest więc
![15⋅ 2⋅2 ⋅2 ⋅2 = 15 ⋅16](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR25x.gif)
takich zdarzeń.
Prawdopodobieństwo jest więc równe.
![15 + 20 ⋅8+ 15 ⋅16 P (A ) = 1− P(A ′) = 1− --------------------= 13 ⋅11 ⋅5 = 1− 3+--4⋅-8+-3-⋅16-= 1− -83-= -60-. 13⋅1 1 143 143](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR26x.gif)
Sposób IV
Tym razem będziemy uwzględniać kolejność w jakiej losowane są liczby, czyli za zdarzenia elementarne przyjmiemy czwórki wylosowanych liczb. Mamy zatem
![|Ω | = 13 ⋅12 ⋅11⋅ 10.](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR28x.gif)
Liczymy ile jest zdarzeń sprzyjających.
Najpierw zdarzenia w których jest 7. Do tej siódemki musimy dobrać parę liczb z sumą równą 14 – możemy to zrobić na 6 sposobów, a potem jeszcze jedną dowolną liczbę spośród pozostałych 10 liczb. Na koniec musimy ustalić kolejność wybranych liczb, co możemy zrobić na sposobów. W sumie jest więc
![6 ⋅10 ⋅4! = 60⋅ 24](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR30x.gif)
takich zdarzeń.
Teraz policzmy ile jest zdarzeń bez 7-ki. Musimy wybrać dwie liczby z sumą równą 14 – możemy to zrobić na 6 sposobów, potem musimy jeszcze dobrać dwie liczby, których suma nie jest równa 14. Łatwo tu popełnić błąd, nie możemy liczyć tak: wybieramy liczbę spośród pozostałych 10, a potem ostatnią liczbę możemy wybrać na 8 sposobów – przy takim sposobie liczenia każdą parę liczymy podwójnie.
W takim razie liczmy ostrożniej, aby wybrać dwie liczby, których suma nie jest równa 14, wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić te liczby – możemy to zrobić na
![( ) 5 = 5-⋅4 = 1 0 2 2](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR31x.gif)
sposobów, a potem z każdej pary wybieramy jedną z dwóch liczb w tej parze. W sumie jest więc
![10 ⋅2 ⋅2 = 40](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR32x.gif)
możliwości wybrania dwóch liczb, których suma nie jest równa 14. Na koniec możemy 4 wybrane liczby dowolnie permutować, więc jest w sumie
![6⋅4 0⋅4! = 6 ⋅40 ⋅24](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR33x.gif)
zdarzeń bez 7-ki. Prawdopodobieństwo jest więc równe
![60 ⋅24 + 6 ⋅40 ⋅24 60⋅ 2+ 6 ⋅40 ⋅2 6⋅ 2+ 6⋅4 ⋅2 6 0 ------------------ = ----------------= --------------= ----. 13 ⋅12 ⋅11 ⋅10 1 3⋅11 ⋅10 1 3⋅11 143](https://img.zadania.info/zad/5249450/HzadR34x.gif)
Odpowiedź: