Zadanie nr 6141118
Z pudełka, w którym jest 15 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 15, losujemy bez zwracania 5 kul. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest dokładnie jedna para kul z sumą numerów równą 16.
Rozwiązanie
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest
![( 15) 15 ⋅14 ⋅13 ⋅12⋅ 11 15⋅1 4⋅13 ⋅12 ⋅11 = ------------------ = ------------------= 7⋅ 13⋅3 ⋅11. 5 5! 2⋅ 3⋅4 ⋅5](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR0x.gif)
Wypiszmy wszystkie pary różnych liczb, które w sumie dają 16.
![(1,15 ),(2 ,14),(3,13),(4,12),(5,1 1),(6,10),(7,9).](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR1x.gif)
Jest jeszcze liczba 8, która nie ma pary (bo losujemy bez zwracania).
Sposób I
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze trzy liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 7 sposobów. Po wybraniu tej pary pozostaje liczb i z nich musimy wybrać jeszcze trzy. Trzy pozostałe liczby możemy wybrać na
![( ) 13 13 ⋅12 ⋅11 3 = ---2-⋅3----= 286](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR3x.gif)
sposobów. Część z tych trójek będzie jednak zła – obliczmy ile takich jest. W ’złej trójce’ musi być para liczb z sumą 16 (którą już teraz możemy wybrać tylko na 6 sposobów!) oraz jedna dodatkowa liczba. Jest więc
![6⋅ (1 5− 4) = 66](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR4x.gif)
takich trójek. W takim razie wybraną na początku parę można uzupełnić do piątki na
![2 86− 66 = 220](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR5x.gif)
sposobów. W sumie jest więc
![7⋅ 220 = 7 ⋅11 ⋅20](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR6x.gif)
zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe
![-7-⋅11⋅-20--= -20---= 20. 7⋅13 ⋅3 ⋅11 13 ⋅3 39](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR7x.gif)
Sposób II
O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze trzy liczby tak, aby nie były z jednej pary.
Jedną parę możemy wybrać na 7 sposobów. Gdy para ta jest ustalona to możliwe są dwie sytuacje: albo jedną z pozostałych liczb jest 8, albo nie.
Jeżeli jest 8 wśród wylosowanych liczb to pozostałe dwie liczby wybieramy następująco: wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić te liczby – możemy to zrobić na
![( ) 6 6 ⋅5 = ---- = 1 5 2 2](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR8x.gif)
sposobów. Gdy te pary są już wybrane, to z każdej pary wybieramy jedną z dwóch liczb. Jest więc
![7 ⋅15 ⋅2⋅ 2 = 7 ⋅15⋅ 4](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR9x.gif)
takich układów.
Jeżeli natomiast wśród wylosowanych liczb nie ma 8, to liczymy podobnie, najpierw wybieramy trzy pary, z których będą pochodzić pozostałe 3 liczby, a potem z każdej pary wybieramy jedną liczbę. Można to zrobić na
![(6) 6⋅5 ⋅4 7⋅ ⋅2⋅ 2⋅2 = 7⋅ -------⋅8 = 7 ⋅20 ⋅8 3 2 ⋅3](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR10x.gif)
sposobów.
Prawdopodobieństwo jest więc równe
![7 ⋅15 ⋅4+ 7⋅2 0⋅8 20(3 + 8) 20 -------------------= ----------= ---. 7 ⋅13 ⋅3 ⋅11 13 ⋅3 ⋅11 39](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR11x.gif)
Sposób III
Tym razem, zamiast obliczać prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia , obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
. Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających zdarzeniu
: albo nie ma żadnej pary z sumą równą 16, albo takie pary są dwie.
Łatwo obliczyć liczbę zdarzeń z dwoma parami z sumą równą 16 – wybieramy dwie pary spośród 7 par z sumą równą 16, a potem dobieramy 5-tą liczbę dowolnie spośród pozostałych liczb. Jest więc
![( ) 7 7 ⋅6 ⋅ 11 = ---- ⋅11 = 2 1⋅11 2 2](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR16x.gif)
zdarzeń tego typu.
Jeżeli natomiast nie ma żadnej pary liczb z sumą równą 16, to każda z liczb musi pochodzić z innej z wypisanych par, lub może być też 8-ką.
Jeżeli wśród wybranych liczb jest 8, to aby wybrać pozostałe cztery liczby wybieramy 4 pary, z których będą pochodzić. Możemy to zrobić na
![( ) 7 = 7-⋅6-⋅5-⋅4 = 35 4 2⋅ 3⋅4](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR17x.gif)
sposobów. Ponadto w każdej z 4 wybranych par możemy wybrać jedną z dwóch liczb. Jest więc
![35⋅ 2⋅2 ⋅2 ⋅2 = 35 ⋅16](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR18x.gif)
takich par.
Jeżeli wreszcie wśród wybranych liczb nie ma 8-ki, to liczby pochodzą z 5 różnych par, które możemy wybrać na
![( 7) 7 ⋅6⋅ 5⋅4 ⋅3 = -------------= 21 5 2 ⋅3 ⋅4 ⋅5](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR19x.gif)
sposobów. W każdej parze mamy możliwość wyboru jednej z 2 liczb. Jest więc
![21 ⋅2 ⋅2⋅ 2⋅2 ⋅2 = 2 1⋅3 2](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR20x.gif)
takich zdarzeń.
Prawdopodobieństwo jest więc równe.
![′ 21-⋅11+--35⋅-16+--21⋅-32- P (A) = 1− P(A ) = 1− 7 ⋅13⋅ 3⋅1 1 = 3⋅1 1+ 5⋅16 + 6 ⋅16 3 ⋅11 + 11 ⋅16 = 1− ---------------------= 1− ---------------= 13⋅ 3⋅11 13⋅3 ⋅11 = 1− 3+--16-= 1 − 19-= 2-0. 13 ⋅3 39 3 9](https://img.zadania.info/zad/6141118/HzadR21x.gif)
Odpowiedź: