Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6256414

Ze zbioru liczb {0,1,− 1,3 ,− 3 ,5 ,−5 ,...,2n+ 1,− 2n − 1} , gdzie n jest ustaloną liczbą naturalną, większą od 4, losujemy jednocześnie trzy liczby. Niech A oznacza zdarzenie: suma wylosowanych liczb nie ulegnie zmianie, jeżeli w wylosowanych liczbach zmienimy znaki na przeciwne. Wiedząc, że  -1- P (A ) = 133 , oblicz n .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Policzmy ile jest liczb w danym zbiorze. Ponieważ

1 = 2 ⋅1− 1, 3 = 2⋅ 2− 1,...,2n + 1 = 2 ⋅(n + 1) − 1

tych liczb jest n + 1 . W całym zbiorze jest więc (n + 1) + (n + 1) + 1 = 2n + 3 liczb. Zatem możliwości wybrania trzech z nich jest

 ( ) |Ω | = 2n+ 3 = (2n-+-3-)(2n-+--2)(2n-+-1)-= (n-+-1)(2n-+-1-)(2n-+--3). 3 6 3

Jeżeli a,b,c są trzema wylosowanymi liczbami, to przy zmianie ich znaków, suma nie zmieni się wtedy i tylko wtedy, gdy a + b + c = 0 . Jest jednak mały problem, w danym zbiorze jest tylko jedna liczba parzysta, a w równości a + b + c = 0 nie mogą wszystkie trzy liczby być nieparzyste. Zatem jedna z tych liczb, powiedzmy c jest równa 0. Mamy w takim razie równość a = −b . Ile jest takich par? – to łatwe, tyle ile jest liczb dodatnich w danym zbiorze, czyli n + 1 . Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe

P (A) = -----n-+-1-------= --------3-------- (n+1)(2n+-3)(2n+1) (2n + 3)(2n + 1 ) 3

(bo nie uwzględniamy kolejności losowania liczb).

Mamy zatem równanie

 3 1 ----------------- = ---- (2n + 3)(2n + 1) 133 399 = 4n2 + 8n + 3 2 4n + 8n − 396 = 0 / : 4 n 2 + 2n − 99 = 0 Δ = 4 + 396 = 400 = 202 − 2− 20 − 2 + 20 n = ---------= − 1 1 ∨ n = ---------= 9. 2 2

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy n = 9 .  
Odpowiedź: n = 9

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!