Zadanie nr 6256414

Ze zbioru liczb {0,1,− 1,3 ,− 3 ,5 ,−5 ,...,2n+ 1,− 2n − 1} , gdzie jest ustaloną liczbą naturalną, większą od 4, losujemy jednocześnie trzy liczby. Niech oznacza zdarzenie: suma wylosowanych liczb nie ulegnie zmianie, jeżeli w wylosowanych liczbach zmienimy znaki na przeciwne. Wiedząc, że -1- P (A ) = 133 , oblicz .

Rozwiązanie

Policzmy ile jest liczb w danym zbiorze. Ponieważ

1 = 2 ⋅1− 1, 3 = 2⋅ 2− 1,...,2n + 1 = 2 ⋅(n + 1) − 1

tych liczb jest n + 1 . W całym zbiorze jest więc (n + 1) + (n + 1) + 1 = 2n + 3 liczb. Zatem możliwości wybrania trzech z nich jest

( ) |Ω | = 2n+ 3 = (2n-+-3-)(2n-+--2)(2n-+-1)-= (n-+-1)(2n-+-1-)(2n-+--3). 3 6 3

Jeżeli a,b,c są trzema wylosowanymi liczbami, to przy zmianie ich znaków, suma nie zmieni się wtedy i tylko wtedy, gdy a + b + c = 0 . Jest jednak mały problem, w danym zbiorze jest tylko jedna liczba parzysta, a w równości nie mogą wszystkie trzy liczby być nieparzyste. Zatem jedna z tych liczb, powiedzmy jest równa 0. Mamy w takim razie równość a = −b . Ile jest takich par? – to łatwe, tyle ile jest liczb dodatnich w danym zbiorze, czyli n + 1 . Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe