Zadanie nr 6256414
Ze zbioru liczb , gdzie
jest ustaloną liczbą naturalną, większą od 4, losujemy jednocześnie trzy liczby. Niech
oznacza zdarzenie: suma wylosowanych liczb nie ulegnie zmianie, jeżeli w wylosowanych liczbach zmienimy znaki na przeciwne. Wiedząc, że
, oblicz
.
Rozwiązanie
Policzmy ile jest liczb w danym zbiorze. Ponieważ
![1 = 2 ⋅1− 1, 3 = 2⋅ 2− 1,...,2n + 1 = 2 ⋅(n + 1) − 1](https://img.zadania.info/zad/6256414/HzadR0x.gif)
tych liczb jest . W całym zbiorze jest więc
liczb. Zatem możliwości wybrania trzech z nich jest
![( ) |Ω | = 2n+ 3 = (2n-+-3-)(2n-+--2)(2n-+-1)-= (n-+-1)(2n-+-1-)(2n-+--3). 3 6 3](https://img.zadania.info/zad/6256414/HzadR3x.gif)
Jeżeli są trzema wylosowanymi liczbami, to przy zmianie ich znaków, suma nie zmieni się wtedy i tylko wtedy, gdy
. Jest jednak mały problem, w danym zbiorze jest tylko jedna liczba parzysta, a w równości
nie mogą wszystkie trzy liczby być nieparzyste. Zatem jedna z tych liczb, powiedzmy
jest równa 0. Mamy w takim razie równość
. Ile jest takich par? – to łatwe, tyle ile jest liczb dodatnich w danym zbiorze, czyli
. Interesujące nas prawdopodobieństwo jest więc równe
![P (A) = -----n-+-1-------= --------3-------- (n+1)(2n+-3)(2n+1) (2n + 3)(2n + 1 ) 3](https://img.zadania.info/zad/6256414/HzadR10x.gif)
(bo nie uwzględniamy kolejności losowania liczb).
Mamy zatem równanie
![3 1 ----------------- = ---- (2n + 3)(2n + 1) 133 399 = 4n2 + 8n + 3 2 4n + 8n − 396 = 0 / : 4 n 2 + 2n − 99 = 0 Δ = 4 + 396 = 400 = 202 − 2− 20 − 2 + 20 n = ---------= − 1 1 ∨ n = ---------= 9. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6256414/HzadR11x.gif)
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy .
Odpowiedź: